Trả lời nhanh
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r = S/p (S là diện tích, p là nửa chu vi). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = abc/(4S) = a/(2sin A). Muốn tính nhanh, hãy tìm diện tích S trước (bằng công thức Heron hoặc ½·bc·sin A), rồi thay vào hai công thức trên.
Kí hiệu dùng trong bài
Cho tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Ta dùng các kí hiệu:
- p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi;
- S là diện tích tam giác;
- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp (đi qua ba đỉnh);
- r là bán kính đường tròn nội tiếp (tiếp xúc với ba cạnh).
Bảng công thức cần nhớ
| Cần tính | Công thức | Dùng khi |
|---|---|---|
| Diện tích S | S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)] (Heron) | Biết ba cạnh |
| Diện tích S | S = ½·bc·sin A = ½·ca·sin B = ½·ab·sin C | Biết hai cạnh và góc xen giữa |
| R | R = a/(2sin A) = b/(2sin B) = c/(2sin C) | Biết một cạnh và góc đối diện |
| R | R = abc/(4S) | Biết ba cạnh (hoặc đã có S) |
| r | r = S/p | Mọi tam giác, khi biết S và p |
| Tam giác vuông tại A | R = a/2 (a là cạnh huyền); r = (b + c − a)/2 | Tam giác vuông |
| Tam giác đều cạnh a | R = a√3/3; r = a√3/6 (nên r = R/2) | Tam giác đều |
Vì sao r = S/p và R = abc/(4S)?
Hiểu nguồn gốc công thức giúp bạn không phải học vẹt. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Nối I với ba đỉnh, tam giác ABC được chia thành ba tam giác IBC, ICA, IAB. Mỗi tam giác này có đường cao hạ từ I đúng bằng r.
Do đó S = ½·a·r + ½·b·r + ½·c·r = r·(a + b + c)/2 = p·r, suy ra r = S/p.
Với R, ta bắt đầu từ định lí sin: a/sin A = 2R. Thay sin A = 2S/(bc) (từ S = ½·bc·sin A) vào, ta được a·bc/(2S) = 2R, tức R = abc/(4S).
Chọn công thức theo dữ kiện đề bài
- Biết một cạnh và góc đối diện: dùng ngay R = a/(2sin A). Đây là cách ngắn nhất.
- Biết hai cạnh và góc xen giữa: dùng định lí côsin tìm cạnh thứ ba, rồi dùng R = a/(2sin A) hoặc tính S = ½·bc·sin A.
- Biết ba cạnh: tính p, tính S bằng Heron, rồi r = S/p và R = abc/(4S).
- Tam giác đặc biệt (vuông, đều, cân): nhận diện trước, dùng công thức riêng để tiết kiệm thời gian.
Nếu cần ôn lại cách tính S, xem thêm bài các công thức tính diện tích tam giác tại Các công thức tính diện tích tam giác và phần Hệ thức lượng trong tam giác.
Ví dụ giải mẫu
Ví dụ 1. Tam giác có ba cạnh 13, 14, 15
Nửa chu vi p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. Theo Heron: S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84.
- r = S/p = 84/21 = 4.
- R = abc/(4S) = (13·14·15)/(4·84) = 2730/336 = 65/8.
Ví dụ 2. Biết AB = 5, AC = 8, góc A = 60°
Định lí côsin: BC² = 25 + 64 − 2·5·8·cos 60° = 89 − 40 = 49, nên BC = 7.
Áp dụng định lí sin: R = BC/(2sin A) = 7/(2·√3/2) = 7/√3 = 7√3/3.
Tính r: S = ½·5·8·sin 60° = 10√3; p = (5 + 8 + 7)/2 = 10; r = 10√3/10 = √3.
Kiểm tra lại R bằng công thức khác: abc/(4S) = (5·8·7)/(40√3) = 7/√3. Hai cách cho cùng kết quả.
Ví dụ 3. Tam giác vuông tại A có AB = 6, AC = 8
BC = √(36 + 64) = 10. Vì tam giác vuông nên R = BC/2 = 5.
r = (6 + 8 − 10)/2 = 2. Kiểm tra: S = ½·6·8 = 24, p = 12, S/p = 2. Đúng.
Ví dụ 4. Tam giác đều cạnh 6
R = 6√3/3 = 2√3; r = 6√3/6 = √3. Ta thấy R = 2r, đúng như bảng công thức.
Ví dụ 5. Tam giác cân tại A, AB = AC = 10, BC = 12
Đường cao AH hạ từ A cũng là trung tuyến: BH = 6, AH = √(100 − 36) = 8. Vậy S = ½·12·8 = 48 và p = (10 + 10 + 12)/2 = 16.
- r = 48/16 = 3.
- R = (10·10·12)/(4·48) = 1200/192 = 25/4.
Ví dụ 6. Tìm R khi biết góc và đường cao
Tam giác vuông tại A có đường cao AH = 4,8 và AB : AC = 3 : 4. Đặt AB = 3k, AC = 4k thì BC = 5k. Vì AH·BC = AB·AC nên AH = 12k²/(5k) = 12k/5. Từ 12k/5 = 4,8 ta có k = 2, tức AB = 6, AC = 8, BC = 10.
Suy ra R = BC/2 = 5 và r = (6 + 8 − 10)/2 = 2.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm p với chu vi. p là nửa chu vi. Dùng chu vi trong Heron hoặc trong r = S/p sẽ cho kết quả sai hẳn.
- Quên hệ số 2 trong R = a/(2sin A). Nhiều bạn viết R = a/sin A, thực ra đó là đường kính 2R.
- Quên hệ số 4 trong R = abc/(4S). Mẹo nhớ: “tích ba cạnh chia bốn lần diện tích”.
- Áp R = a/2 cho tam giác không vuông. Công thức này chỉ đúng khi a là cạnh huyền.
- Nhầm giữa r và R: r nhỏ hơn R, và trong mọi tam giác R ≥ 2r (dấu bằng khi tam giác đều). Nếu tính ra r lớn hơn R thì chắc chắn sai.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- Tam giác ABC có BC = 8 và góc A = 45°. Tính R.
- Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 9. Tính r và R.
- Tam giác có ba cạnh 5, 12, 13. Tính R và r.
- Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 4. Tính cạnh và bán kính đường tròn nội tiếp.
- Tam giác có chu vi 30 và diện tích 45. Tính r.
- Tam giác ABC có R = 5 và sin A = 3/5. Tính độ dài BC.
- Tam giác vuông tại A có AH = 4,8 và AB/AC = 3/4. Tính R, r.
- Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5, BC = 6. Tính r và R.
Đáp án và gợi ý
- R = 8/(2·sin 45°) = 8/√2 = 4√2.
- p = 12; S = √(12·5·4·3) = √720 = 12√5. r = 12√5/12 = √5; R = 504/(48√5) = 21/(2√5) = 21√5/10.
- Tam giác vuông (vì 5² + 12² = 13²), cạnh huyền 13: R = 6,5; r = (5 + 12 − 13)/2 = 2.
- a = R√3 = 4√3; r = R/2 = 2.
- p = 15 nên r = 45/15 = 3.
- BC = 2R·sin A = 2·5·3/5 = 6.
- Giống Ví dụ 6: R = 5, r = 2.
- Đường cao hạ từ A bằng √(25 − 9) = 4, nên S = ½·6·4 = 12; p = 8. Vậy r = 12/8 = 3/2 và R = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8.
Mẹo ôn tập
Trước khi tính, hãy hỏi ba câu: tam giác có đặc biệt không, đề cho góc hay cho ba cạnh, và đã biết diện tích chưa. Sau đó kiểm tra kết quả bằng một công thức thứ hai (như ở Ví dụ 2 và 3). Cách này vừa phát hiện sai sót, vừa luyện phản xạ rất tốt.
Để luyện thêm, bạn có thể làm tiếp Bài tập về tính diện tích tam giác, Bài tập giải tam giác và 22 bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là gì?
r = S/p, trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi. Công thức đúng cho mọi tam giác; với tam giác vuông có thể dùng thêm r = (b + c − a)/2 với a là cạnh huyền.
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
R = abc/(4S) hoặc R = a/(2sin A). Dùng công thức thứ hai khi biết một cạnh và góc đối diện, dùng công thức thứ nhất khi biết ba cạnh.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông tính thế nào?
Bằng một nửa cạnh huyền, vì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
Tam giác đều cạnh a có R và r bằng bao nhiêu?
R = a√3/3 và r = a√3/6. Vì vậy R = 2r, đây là trường hợp tam giác có R nhỏ nhất so với r.