Trả lời nhanh
Hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), tập xác định ℝ. Đồ thị là một parabol có đỉnh S(−b/2a; −Δ/4a), trục đối xứng x = −b/2a, bề lõm hướng lên khi a > 0 và hướng xuống khi a < 0, cắt trục tung tại (0; c). Với a > 0 hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh, với a < 0 có giá trị lớn nhất tại đỉnh.
1. Hàm số bậc hai là gì?
Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức y = f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Tập xác định là D = ℝ.
Điều kiện a ≠ 0 là “chìa khoá”: nếu a = 0 thì x2 biến mất và ta chỉ còn hàm số bậc nhất. Hai hệ số b và c thì được phép bằng 0.
| Hàm số | Có phải hàm bậc hai? | Lý do |
|---|---|---|
| y = −3x2 + 1 | Có | a = −3, b = 0, c = 1 |
| y = (x + 2)2 − x2 | Không | Khai triển: x2 + 4x + 4 − x2 = 4x + 4, hệ số của x2 bằng 0 |
| y = x(x − 5) | Có | Khai triển thành x2 − 5x, a = 1, b = −5, c = 0 |
| y = x3 + x2 | Không | Có số hạng bậc ba |
Lỗi hay gặp: kết luận ngay khi thấy x2 trong công thức. Hãy luôn thu gọn trước rồi mới xét hệ số a.
2. Đồ thị hàm số bậc hai
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị của y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol (P) với các yếu tố sau, trong đó Δ = b2 − 4ac:
- Đỉnh S có hoành độ xS = −b/(2a), tung độ yS = −Δ/(4a).
- Trục đối xứng là đường thẳng x = −b/(2a), đi qua đỉnh và song song với trục Oy.
- Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0.
- Giao với trục tung tại điểm (0; c).
- Giao với trục hoành chính là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.
Mẹo nhớ toạ độ đỉnh
Chỉ cần nhớ xS = −b/(2a). Sau đó thay xS vào hàm số để được yS = f(xS). Cách này ít sai dấu hơn việc tính −Δ/(4a) khi Δ là số lẻ hoặc âm.
Trường hợp b chẵn (b = 2b’)
Đặt Δ’ = b’2 − ac thì đỉnh là S(−b’/a; −Δ’/a). Cách này cho số nhỏ hơn, tính nhanh hơn.
Số giao điểm với trục hoành
| Δ | Số giao điểm của (P) với Ox |
|---|---|
| Δ > 0 | 2 giao điểm (hai nghiệm phân biệt) |
| Δ = 0 | 1 điểm chung duy nhất – đó chính là đỉnh, parabol tiếp xúc Ox |
| Δ < 0 | Không cắt Ox: parabol nằm hoàn toàn phía trên (a > 0) hoặc phía dưới (a < 0) trục hoành |
Ví dụ 1
Tìm các yếu tố của parabol y = x2 − 4x + 3.
Ta có a = 1, b = −4, c = 3, Δ = 16 − 12 = 4. Hoành độ đỉnh xS = 4/2 = 2; yS = 4 − 8 + 3 = −1, nên S(2; −1). Trục đối xứng x = 2, bề lõm hướng lên vì a = 1 > 0. Cắt Oy tại (0; 3). Phương trình x2 − 4x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 3, nên parabol cắt Ox tại (1; 0) và (3; 0).
3. Cách vẽ parabol y = ax2 + bx + c
- Xác định toạ độ đỉnh S(−b/2a; −Δ/4a).
- Vẽ trục đối xứng d: x = −b/(2a) (nét đứt).
- Tìm giao điểm với trục tung A(0; c) và giao điểm với trục hoành (nếu có). Lấy thêm điểm B đối xứng với A qua d, có toạ độ B(−b/a; c).
- Vẽ đường parabol trơn đi qua đỉnh và các điểm vừa tìm, nhớ để ý bề lõm.
Ví dụ 2: vẽ y = 2x2 + 3x + 1
Ta có a = 2, b = 3, c = 1, Δ = 9 − 8 = 1.
- Đỉnh: xS = −3/4; yS = −1/8, vậy S(−3/4; −1/8).
- Trục đối xứng: x = −3/4. Bề lõm hướng lên vì a = 2 > 0.
- Cắt Oy tại A(0; 1); điểm đối xứng với A qua trục là B(−3/2; 1).
- Giải 2x2 + 3x + 1 = 0 được x = −1 hoặc x = −1/2. Vậy (P) cắt Ox tại (−1; 0) và (−1/2; 0).
Kiểm tra nhanh: thay x = −3/2 vào hàm số, 2·(9/4) − 9/2 + 1 = 1, đúng với tung độ của B.
4. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
Gọi xS = −b/(2a). Dựa vào đồ thị ta có bảng tóm tắt:
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| Trên (−∞; −b/2a) | Nghịch biến | Đồng biến |
| Trên (−b/2a; +∞) | Đồng biến | Nghịch biến |
| Giá trị tại đỉnh | Nhỏ nhất, bằng −Δ/4a | Lớn nhất, bằng −Δ/4a |
| Tập giá trị | [−Δ/4a; +∞) | (−∞; −Δ/4a] |
Cách nhớ hình ảnh: parabol “mỉm cười” (a > 0) thì đỉnh là điểm thấp nhất; parabol “buồn” (a < 0) thì đỉnh là điểm cao nhất. Từ trái sang phải, nhánh đi xuống là nghịch biến, nhánh đi lên là đồng biến.
Ví dụ 3
Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của y = −x2 + 3x − 2.
Ta có a = −1 < 0, b = 3, c = −2, Δ = 9 − 8 = 1. Đỉnh S(3/2; 1/4). Hàm số đồng biến trên (−∞; 3/2), nghịch biến trên (3/2; +∞) và đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4 tại x = 3/2.
| x | −∞ | 3/2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | −∞ | ↗ | 1/4 | ↘ | −∞ |
5. Ứng dụng của hàm số bậc hai
Nhiều bài toán thực tế quy về việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số bậc hai, tức là tìm đỉnh parabol.
Ví dụ 4 (quỹ đạo vật được ném)
Một quả bóng được ném lên từ độ cao 1,5 m, độ cao sau t giây được cho bởi h(t) = −5t2 + 20t + 1,5 (mét). Đây là ví dụ tự đặt để luyện tập.
- Hoành độ đỉnh t = −20/(2·(−5)) = 2, nên bóng lên cao nhất sau 2 giây.
- Độ cao lớn nhất h(2) = −20 + 40 + 1,5 = 21,5 m.
- Bóng chạm đất khi h(t) = 0, giải ra t = (20 + √430)/10 ≈ 4,07 giây (nhận nghiệm dương).
Ví dụ 5 (bài toán diện tích lớn nhất)
Có 40 m lưới để rào một mảnh vườn hình chữ nhật, một cạnh tựa vào bức tường nên không cần rào. Gọi x (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường (0 < x < 20), chiều dài cạnh song song với tường là 40 − 2x. Diện tích S(x) = x(40 − 2x) = −2x2 + 40x.
Vì a = −2 < 0, S đạt lớn nhất tại x = −40/(2·(−2)) = 10, khi đó S = 200 m2, chiều dài cạnh còn lại là 20 m.
Lưu ý: khi giải bài toán thực tế phải kiểm tra xS có nằm trong miền cho phép của biến hay không; nếu không thì giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xảy ra ở đầu mút của miền đó.
6. Các lỗi sai thường gặp
- Quên dấu trừ trong xS = −b/(2a), nhất là khi b âm (b = −4 thì xS = +2).
- Nhầm tập giá trị: a < 0 thì tập giá trị chạy xuống −∞, không phải lên +∞.
- Nhầm “giá trị lớn nhất” với “hoành độ đỉnh”: giá trị lớn nhất là yS, đạt tại x = xS.
- Vẽ parabol như hai nửa đường thẳng gấp khúc, hoặc không đối xứng qua trục.
- Giải nghiệm sai khi tìm giao với Ox rồi ghi toạ độ thiếu tung độ 0.
7. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai: (a) y = 2x − x2; (b) y = (x − 1)2 − x2; (c) y = x2(x + 1)?
Đáp án: Chỉ (a) (a = −1, b = 2, c = 0). (b) thu gọn thành −2x + 1; (c) là hàm bậc ba.
Bài 2. Cho y = −2x2 + 4x + 1. Tìm đỉnh, trục đối xứng, giá trị lớn nhất, tập giá trị.
Đáp án: a = −2, b = 4, Δ = 16 + 8 = 24. xS = −4/(−4) = 1; yS = −2 + 4 + 1 = 3. Đỉnh S(1; 3), trục x = 1, giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1, tập giá trị (−∞; 3].
Bài 3. Xác định parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh I(2; −1) và đi qua điểm (0; 3).
Đáp án: Viết y = a(x − 2)2 − 1. Thay (0; 3): 4a − 1 = 3, nên a = 1. Vậy y = (x − 2)2 − 1 = x2 − 4x + 3.
Bài 4. Tìm m để parabol y = x2 − 2x + m không cắt trục hoành.
Đáp án: b’ = −1, Δ’ = 1 − m. Parabol không cắt Ox khi Δ’ < 0, tức m > 1.
Học tiếp
- Lý thuyết Bài 1: Hàm số và đồ thị
- Lý thuyết Toán 10 Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị
- Giải SGK Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai
- Sách bài tập Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai
- 20 câu trắc nghiệm Hàm số bậc hai có đáp án
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính đỉnh parabol của hàm số bậc hai là gì?
Đỉnh S có hoành độ x = −b/(2a) và tung độ y = −Δ/(4a) với Δ = b² − 4ac. Cách dễ nhớ: tính x = −b/(2a) rồi thay vào hàm số để được tung độ.
Khi nào hàm số bậc hai có giá trị lớn nhất, khi nào có giá trị nhỏ nhất?
Khi a 0 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −Δ/(4a) tại đỉnh. Hàm số bậc hai không có cả hai cùng lúc trên toàn ℝ.
Parabol cắt trục hoành tại mấy điểm?
Số giao điểm bằng số nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0: Δ > 0 có 2 điểm, Δ = 0 có 1 điểm (parabol tiếp xúc trục hoành tại đỉnh), Δ < 0 không có điểm nào.
Điểm đối xứng với giao điểm (0; c) qua trục đối xứng có toạ độ thế nào?
Điểm đó là B(−b/a; c), vì trục đối xứng là x = −b/(2a) nên hoành độ đối xứng của 0 là 2·(−b/2a) − 0 = −b/a, còn tung độ vẫn là c.