Trả lời nhanh
Không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên là tập hợp Ω gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Mỗi biến cố là một tập con của Ω. Muốn làm tốt dạng bài này, em cần liệt kê đủ, không trùng, không sót các kết quả, rồi mới xác định biến cố cần tìm.
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay hành động mà ta chưa đoán trước được kết quả, nhưng biết được tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra.
Không gian mẫu của phép thử là tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của phép thử, kí hiệu là Ω (đọc là “ô-mê-ga”). Số phần tử của Ω kí hiệu là n(Ω).
Ví dụ quen thuộc:
- Tung một đồng xu: Ω = {S; N} (S là sấp, N là ngửa), n(Ω) = 2.
- Gieo một con xúc xắc cân đối: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n(Ω) = 6.
- Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ gồm 8 bạn: Ω là tập 8 bạn đó, n(Ω) = 8.
Mẹo nhớ: “Không gian mẫu = danh sách đầy đủ mọi khả năng”. Hãy tự hỏi: sau khi làm phép thử, kết quả nào có thể xuất hiện? Gom tất cả lại thì ra Ω.
2. Cách mô tả không gian mẫu khi phép thử nhiều bước
Khi phép thử gồm nhiều bước (tung đồng xu nhiều lần, gieo nhiều xúc xắc), ta ghi kết quả dưới dạng dãy có thứ tự hoặc cặp có thứ tự, hoặc dùng bảng, sơ đồ cây.
- Tung đồng xu 2 lần: Ω = {SS; SN; NS; NN}, n(Ω) = 4.
- Tung đồng xu 3 lần: n(Ω) = 2·2·2 = 8.
- Gieo một xúc xắc 2 lần (hoặc gieo 2 xúc xắc phân biệt): kết quả là cặp (i; j) với 1 ≤ i, j ≤ 6, nên n(Ω) = 6·6 = 36.
Ở đây cặp (2; 5) khác cặp (5; 2) vì lần gieo thứ nhất và thứ hai khác nhau. Đây là chỗ học sinh hay nhầm nhất.
Với phép thử “chọn ngẫu nhiên 2 phần tử cùng lúc từ một nhóm”, thứ tự không quan trọng nên ta liệt kê theo tập hợp (tổ hợp). Chẳng hạn chọn 2 bạn từ 4 bạn A, B, C, D: Ω = {AB; AC; AD; BC; BD; CD}, n(Ω) = 6.
3. Biến cố
Biến cố (liên quan đến phép thử) là một tập con của không gian mẫu Ω. Ta thường kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,…
Nếu kết quả của phép thử thuộc tập A thì ta nói biến cố A xảy ra; mỗi kết quả thuộc A gọi là kết quả thuận lợi cho A.
- Biến cố chắc chắn: luôn xảy ra, chính là tập Ω.
- Biến cố không thể: không bao giờ xảy ra, là tập rỗng ∅.
Ví dụ: gieo xúc xắc một lần, biến cố “số chấm là số chẵn” là A = {2; 4; 6}. Biến cố “số chấm nhỏ hơn 7” là biến cố chắc chắn (= Ω); biến cố “số chấm bằng 0” là biến cố không thể.
4. Biến cố đối
Cho biến cố A. Biến cố “A không xảy ra” gọi là biến cố đối của A, kí hiệu A (có sách viết Ā). Về mặt tập hợp, A gồm các kết quả của Ω không thuộc A, tức là A = Ω \ A.
Hệ quả: n(A) + n(A) = n(Ω).
Biến cố đối rất hữu ích với các câu có cụm “ít nhất một…”: thay vì đếm nhiều trường hợp, ta đếm biến cố đối “không có…” rồi lấy phần còn lại.
5. Hợp, giao và hai biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử.
- Hợp A ∪ B: biến cố “A xảy ra hoặc B xảy ra” (ít nhất một trong hai xảy ra).
- Giao A ∩ B: biến cố “A và B cùng xảy ra”.
- Xung khắc: A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra, tức A ∩ B = ∅.
| Ngôn ngữ xác suất | Ngôn ngữ tập hợp |
|---|---|
| Biến cố chắc chắn | Ω |
| Biến cố không thể | ∅ |
| A không xảy ra | A = Ω \ A |
| A hoặc B xảy ra | A ∪ B |
| A và B cùng xảy ra | A ∩ B |
| A, B xung khắc | A ∩ B = ∅ |
Lưu ý: hai biến cố đối nhau thì chắc chắn xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc đối nhau. Ví dụ gieo xúc xắc: “ra 1” và “ra 2” xung khắc, nhưng không đối nhau vì còn các kết quả 3, 4, 5, 6.
6. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1: Gieo một xúc xắc
Gọi A: “số chấm chẵn”, B: “số chấm chia hết cho 3”. Hãy xác định A, B, A ∪ B, A ∩ B, A.
Giải. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. A = {2; 4; 6}, B = {3; 6}. Khi đó A ∪ B = {2; 3; 4; 6}, A ∩ B = {6}, A = {1; 3; 5}. Kiểm tra: n(A) + n(A) = 3 + 3 = 6 = n(Ω).
Ví dụ 2: Gieo hai xúc xắc
Gieo hai con xúc xắc cân đối, phân biệt. Gọi C: “tổng số chấm bằng 7”. Mô tả C.
Giải. n(Ω) = 36. Các cặp có tổng 7 là (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). Vậy C có 6 phần tử. Biến cố “tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 11” gồm (5; 6), (6; 5), (6; 6), tức 3 kết quả thuận lợi.
Ví dụ 3: Chọn 2 quả cầu
Hộp có 5 quả cầu đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả. Mô tả không gian mẫu và biến cố D: “tổng hai số ghi trên quả cầu là số chẵn”.
Giải. Lấy đồng thời nên không xét thứ tự: Ω = {12; 13; 14; 15; 23; 24; 25; 34; 35; 45}, n(Ω) = 10 (đúng bằng số tổ hợp chập 2 của 5). Tổng chẵn khi hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ: D = {13; 15; 35; 24}, n(D) = 4. Biến cố đối “tổng là số lẻ” có 10 − 4 = 6 kết quả: 12, 14, 23, 25, 34, 45. Ta kiểm tra trực tiếp thấy đủ 6 cặp, khớp kết quả.
Ví dụ 4: Dùng biến cố đối
Tung đồng xu 3 lần. Biến cố E: “có ít nhất một lần ra mặt ngửa” có bao nhiêu kết quả thuận lợi?
Giải. n(Ω) = 8. Biến cố đối của E là “cả ba lần đều sấp” = {SSS}, chỉ có 1 kết quả. Vậy n(E) = 8 − 1 = 7.
7. Lỗi sai thường gặp
- Bỏ sót kết quả vì liệt kê không có hệ thống. Cách khắc phục: dùng bảng hoặc sơ đồ cây, liệt kê theo thứ tự tăng dần.
- Nhầm thứ tự: gieo hai lần thì (2; 5) ≠ (5; 2); chọn đồng thời thì {2; 5} chỉ tính một lần.
- Nhầm “xung khắc” với “đối nhau” (xem mục 5).
- Hiểu sai “ít nhất”: “ít nhất một” nghĩa là từ một trở lên; biến cố đối là “không có cái nào”.
- Quên kiểm tra tính đồng khả năng: ở bài sau (xác suất theo định nghĩa cổ điển), ta chỉ dùng công thức khi các kết quả của Ω có cùng khả năng xảy ra.
8. Bài tập luyện tập có đáp án
- Chọn ngẫu nhiên một số nguyên từ 1 đến 20. Gọi A: “số được chọn là số nguyên tố”. Tính n(Ω), n(A), n(A).
- Một gia đình có hai con. Kí hiệu T (con trai), G (con gái), viết theo thứ tự con lớn rồi con nhỏ. Mô tả Ω và biến cố “có ít nhất một con gái”. Biến cố đối của nó là gì?
- Tung đồng xu 3 lần. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố “có đúng hai lần sấp”.
Đáp án.
- n(Ω) = 20. Các số nguyên tố từ 1 đến 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 nên n(A) = 8, n(A) = 12 (nhớ rằng 1 không phải số nguyên tố).
- Ω = {TT; TG; GT; GG}. Biến cố “có ít nhất một con gái” = {TG; GT; GG}. Biến cố đối là “cả hai con đều trai” = {TT}.
- Các kết quả: SSN, SNS, NSS, tức có 3 kết quả thuận lợi (trên tổng số 8 kết quả của Ω).
9. Tóm tắt kiến thức cần nhớ
- Ω là tập mọi kết quả có thể của phép thử; biến cố là tập con của Ω.
- Biến cố chắc chắn là Ω, biến cố không thể là ∅.
- Biến cố đối của A là A = Ω \ A, và n(A) + n(A) = n(Ω).
- A ∪ B là “A hoặc B”; A ∩ B là “A và B”; xung khắc khi A ∩ B = ∅.
- Muốn đếm n(Ω) nhanh: nhân số khả năng ở từng bước (nếu các bước độc lập) hoặc dùng tổ hợp khi chọn đồng thời.
Câu hỏi thường gặp
Không gian mẫu là gì?
Không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó, kí hiệu là Ω. Ví dụ gieo một xúc xắc thì Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Biến cố khác gì với không gian mẫu?
Không gian mẫu là tập mọi kết quả có thể, còn biến cố là một tập con của không gian mẫu. Biến cố chắc chắn chính là Ω, biến cố không thể là tập rỗng.
Hai biến cố xung khắc và hai biến cố đối nhau khác nhau thế nào?
Hai biến cố xung khắc là hai biến cố không thể cùng xảy ra (giao bằng rỗng). Hai biến cố đối nhau vừa xung khắc vừa có hợp là cả không gian mẫu. Vì vậy đối nhau thì xung khắc, nhưng ngược lại thì chưa chắc.
Gieo hai xúc xắc thì không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Có 6 × 6 = 36 phần tử, mỗi phần tử là một cặp có thứ tự (i; j) với i, j từ 1 đến 6 vì hai xúc xắc (hoặc hai lần gieo) phân biệt nhau.