Trả lời nhanh
Đáp án trắc nghiệm: 3.12 a) D, b) B, c) D; 3.13 a) B, b) A. Tự luận: 3.14 cho M = 1, N = (3 + √2)/4, P = 4, Q = 1; 3.15 cho R = 10√3/3, a ≈ 11,15, S ≈ 39,43, r ≈ 2,69; 3.19 khoảng cách từ chỗ ném bóng tới gôn 1 và gôn 3 xấp xỉ 19,4 m. Mọi bài đều dùng định lí sin, côsin và các công thức diện tích.
Chương 3 gồm hai bài: giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° và hệ thức lượng trong tam giác. Phần bài tập cuối chương trộn cả hai: 2 bài trắc nghiệm, 3 bài tính toán/chứng minh và 2 bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải từng bài, kèm lý do chọn đáp án và cách loại các phương án sai.
Công thức cần nhớ trước khi làm
| Nội dung | Công thức |
|---|---|
| Định lí côsin | a² = b² + c² − 2bc·cosA (tương tự cho b², c²) |
| Định lí sin | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R |
| Diện tích | S = ½·ab·sinC = abc/(4R) = p·r = √[p(p−a)(p−b)(p−c)] |
| Hai góc bù nhau | sin(180° − x) = sin x; cos(180° − x) = −cos x |
| Trong tam giác | sin(B + C) = sinA; cos(B + C) = −cosA |
Lưu ý quan trọng: trong định lí sin, tỉ số bằng 2R, không phải R. Rất nhiều bạn mất điểm vì quên hệ số 2 này.
A. Trắc nghiệm (trang 44)
Bài 3.12. Cho tam giác ABC có góc B = 135°
a) Khẳng định về diện tích S. Diện tích tính theo hai cạnh kề góc B là S = ½·ac·sinB. Vì sin135° = √2/2 nên S = (√2/4)·ac. Chọn D.
- Phương án có S = ½·ca: thiếu thừa số sinB (chỉ đúng khi B = 90°).
- Phương án có dấu trừ: diện tích không thể âm.
- Phương án có bc: góc B kẹp giữa hai cạnh a và c, không phải b và c.
b) Khẳng định về bán kính R. Từ định lí sin, b/sinB = 2R nên R = b/(2·sinB) = b/(2·√2/2) = b/√2 = (√2/2)·b. Chọn B.
- R = a/sinA: sai vì thiếu hệ số 2 (công thức đúng là R = a/(2sinA)).
- R = (√2/2)·c hoặc R = (√2/2)·a: muốn có hệ thức này phải biết sinC = √2/2 hoặc sinA = √2/2, mà đề chỉ cho góc B nên không kết luận được.
c) Khẳng định đúng về các cạnh, góc. Dữ kiện duy nhất là B = 135°, nên phương án dùng đúng dữ kiện này là định lí côsin cho cạnh đối diện góc B: b² = c² + a² − 2ca·cos135°. Chọn D.
- Phương án viết sinB = −√2/2: sai, vì sin của góc từ 0° đến 180° luôn không âm; sin135° = +√2/2.
- Phương án dùng định lí côsin cho cạnh a hay cạnh c với dấu hoặc hệ số lạ: góc A, C chưa biết nên không suy ra được.
- Với phương án là hệ thức sin dạng chéo (b·sinA = a·sinB): hệ thức này chỉ là cách viết khác của a/sinA = b/sinB nên đúng với mọi tam giác. Khi đối chiếu đề trong sách của em, hãy đọc kĩ từng chỉ số góc/cạnh; đáp án sách chọn D vì D mới dùng dữ kiện B = 135°.
Bài 3.13. Cho tam giác ABC bất kì
a) Từ S = p·r với p = (a + b + c)/2 ta có r = S/p = 2S/(a + b + c). Chọn B.
- S = abc/(4r): công thức đúng là abc/(4R). Vì r < R nên abc/(4r) > abc/(4R) = S, tức là sai.
- a² = b² + c² + 2bc·cosA: sai dấu, đúng là dấu trừ.
- S = r(a + b + c): thiếu chia 2, vì S = r·p = r(a + b + c)/2.
b) Vì A + B + C = 180° nên B + C = 180° − A. Hai góc bù nhau có sin bằng nhau, nên sin(B + C) = sinA. Chọn A.
- cosA = cos(B + C): sai, vì cos(B + C) = −cosA.
- cosA > 0: chỉ đúng khi A nhọn; tam giác tù tại A thì cosA < 0, nên không khẳng định chung được.
- sinA ≤ 0: sai, vì 0° < A < 180° nên sinA > 0 (cũng suy ra từ S = ½·bc·sinA > 0).
B. Tự luận
Bài 3.14. Tính giá trị các biểu thức
Dùng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: sin30° = 1/2; sin45° = cos45° = √2/2; sin60° = cos30° = √3/2; tan60° = √3; sin120° = √3/2; cos120° = −1/2.
- a) M = sin45°·cos45° + sin30° = (√2/2)² + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1.
- b) N = sin60°·cos30° + ½·sin45° = 3/4 + √2/4 = (3 + √2)/4.
- c) P = 1 + tan²60° = 1 + 3 = 4.
- d) Q = 1/sin²120° − cot²120°. Ta có sin²120° = 3/4 nên 1/sin²120° = 4/3; cot120° = cos120°/sin120° = −1/√3 nên cot²120° = 1/3. Vậy Q = 4/3 − 1/3 = 1.
Mẹo kiểm tra: câu c) chính là 1/cos²60° (vì 1 + tan²x = 1/cos²x) = 1/(1/4) = 4; câu d) luôn bằng 1 với mọi góc vì 1/sin²x − cot²x = (1 − cos²x)/sin²x = 1.
Bài 3.15. Tam giác ABC có B = 60°, C = 45°, AC = 10. Tính a, R, S, r
Cạnh AC đối diện góc B nên b = 10. Góc A = 180° − 60° − 45° = 75°.
- Bán kính R: R = b/(2·sinB) = 10/(2·√3/2) = 10/√3 = 10√3/3 ≈ 5,77.
- Cạnh a: a = 2R·sinA = (20/√3)·sin75°, với sin75° = (√6 + √2)/4. Suy ra a = (15√2 + 5√6)/3 ≈ 11,15.
- Cạnh c: c = 2R·sinC = (20/√3)·(√2/2) = 10√6/3 ≈ 8,16.
- Diện tích: S = ½·ab·sinC = ½·11,15·10·(√2/2) = 25(3 + √3)/3 ≈ 39,43.
- Bán kính nội tiếp: p = (a + b + c)/2 ≈ (11,15 + 10 + 8,16)/2 ≈ 14,66, nên r = S/p ≈ 39,43/14,66 ≈ 2,69.
Cách kiểm tra nhanh: S = abc/(4R) ≈ (11,15·10·8,16)/(4·5,77) ≈ 910/23,09 ≈ 39,4, khớp với kết quả trên.
Bài 3.16. Tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh
a) AB² + AC² = 2AM² + BC²/2. Đặt a = BC; do M là trung điểm nên MB = MC = a/2. Hai góc AMB và AMC bù nhau nên cos(AMC) = −cos(AMB). Áp dụng định lí côsin:
- AB² = AM² + a²/4 − 2·AM·(a/2)·cos(AMB)
- AC² = AM² + a²/4 + 2·AM·(a/2)·cos(AMB)
Cộng hai đẳng thức, hai số hạng chứa côsin triệt tiêu: AB² + AC² = 2AM² + a²/2. ∎
b) AB² − AC² = 2·BC·MH (H là hình chiếu của A trên BC, giả sử AB ≥ AC). Theo Pythagore: AB² = AH² + BH², AC² = AH² + CH², nên AB² − AC² = BH² − CH². Chọn trục toạ độ trên BC với gốc M: B(−a/2), C(a/2), H(h) với h = MH ≥ 0. Khi đó BH² − CH² = (h + a/2)² − (h − a/2)² = 2ah = 2·BC·MH. ∎
Bài 3.17. Chứng minh công thức diện tích S = ½·√(AB²·AC² − (AB·AC)²) (tích vô hướng)
Ý tưởng: đưa về S = ½·AB·AC·sinA. Tích vô hướng AB→·AC→ = AB·AC·cosA, nên
AB²·AC² − (AB→·AC→)² = AB²·AC² − AB²·AC²·cos²A = AB²·AC²·(1 − cos²A) = AB²·AC²·sin²A.
Lấy căn bậc hai (sinA > 0 vì 0° < A < 180°): √(…) = AB·AC·sinA. Nhân với ½ ta được đúng S. ∎
Bài toán thực tế (trang 45)
Bài 3.18. Hai tàu trên biển
Theo đề: tàu B cách tàu A 53 km về hướng N34°E, sau đó B chạy thẳng đều với vận tốc 30 km/h về hướng đông; hỏi sau 2 giờ B cách A bao xa. (Nếu số liệu trong sách của em khác, cứ thay vào cách làm dưới đây.)
- Quãng đường B đi được: 30·2 = 60 km. Gọi C là vị trí của B sau 2 giờ, ta có tam giác ABC với AB = 53, BC = 60.
- Góc ABC: từ B nhìn về A là hướng S34°W, còn hướng chuyển động là hướng đông. Hướng đông lệch hướng nam 90° và hướng nam lệch hướng S34°W thêm 34°, nên góc ABC = 90° + 34° = 124°.
- Định lí côsin: AC² = 53² + 60² − 2·53·60·cos124° = 6409 + 6360·cos(56°) ≈ 6409 + 3556 ≈ 9965.
Vậy AC ≈ 99,8 km. Lỗi hay gặp: lấy góc 34° làm góc trong tam giác (quên cộng 90°) hoặc quên dấu của cos124° (là số âm, nên trừ đi tích âm thành cộng).
Bài 3.19. Sân bóng chày
Bốn gôn (Nhà, 1, 2, 3) là đỉnh của hình vuông cạnh 27,4 m; vị trí ném bóng nằm trên đường chéo nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44 m. Cần tính khoảng cách từ vị trí ném bóng tới gôn 1 và gôn 3.
Đường chéo hình vuông chia góc ở đỉnh thành hai góc 45°, nên trong tam giác tạo bởi gôn Nhà, gôn 1 và điểm ném bóng ta có hai cạnh 27,4 m và 18,44 m kẹp góc 45°.
Theo định lí côsin: d² = 27,4² + 18,44² − 2·27,4·18,44·cos45° ≈ 750,76 + 340,03 − 714,55 ≈ 376,24. Vậy d ≈ 19,4 m. Do tính đối xứng, khoảng cách tới gôn 3 cũng bằng khoảng cách tới gôn 1, tức xấp xỉ 19,4 m.
Mẹo chọn công thức nhanh
- Biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh → dùng định lí côsin.
- Biết một cạnh và hai góc, hoặc cần R → dùng định lí sin.
- Cần diện tích: có hai cạnh và góc xen giữa thì dùng ½·ab·sinC; có R thì dùng abc/(4R); có r thì dùng p·r.
- Bài có hướng la bàn (N34°E…): luôn vẽ hình, xác định góc trong tam giác bằng cách cộng/trừ các góc 90°.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm 2R thành R trong định lí sin.
- Quên cos của góc tù là số âm (cos135° = −√2/2, cos120° = −1/2).
- Viết S = p·r nhưng quên p là nửa chu vi.
- Làm tròn quá sớm ở bước giữa, khiến đáp số cuối lệch.
Bài luyện tập thêm (có đáp án)
- Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính góc A, diện tích S, bán kính R và r.
Đáp án: cosA = (64 + 25 − 49)/(2·8·5) = 1/2 nên A = 60°; S = ½·8·5·sin60° = 10√3; R = 7/(2·sin60°) = 7√3/3; p = 10 nên r = S/p = √3. - Tính E = tan135°·cot135° + sin150°.
Đáp án: tan135° = −1, cot135° = −1 nên tích bằng 1; sin150° = 1/2. Vậy E = 3/2. - Tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 10. Tính độ dài trung tuyến AM.
Đáp án: theo 3.16a: 36 + 64 = 2AM² + 50 nên AM² = 25, AM = 5. (Khớp vì tam giác vuông tại A, trung tuyến bằng nửa cạnh huyền.)
Tài liệu liên quan
- Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
- Lý thuyết Toán 10 chương 3
- 30 câu trắc nghiệm chương 3 có đáp án
- SBT Toán 10 – Bài tập cuối chương 3
- Giải Toán 10 trang 44 Tập 1
- Giải Toán 10 trang 45 Tập 1
- Bài 7: Các khái niệm mở đầu (chương 4)
Câu hỏi thường gặp
Bài tập cuối chương 3 Toán 10 Kết nối tri thức gồm những bài nào?
Gồm các bài 3.12 đến 3.19 ở trang 44–45 Tập 1: hai bài trắc nghiệm (3.12, 3.13), các bài tính toán và chứng minh (3.14–3.17) và hai bài toán thực tế (3.18, 3.19).
Trong định lí sin, tỉ số a/sinA bằng R hay 2R?
Bằng 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vì vậy R = a/(2sinA); viết R = a/sinA là sai.
Khi nào dùng định lí côsin, khi nào dùng định lí sin?
Biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc biết ba cạnh thì dùng định lí côsin. Biết một cạnh và hai góc, hoặc cần tìm R, thì dùng định lí sin.
Làm sao xác định góc khi đề cho hướng N34°E?
Vẽ hình với trục bắc–nam, đông–tây rồi cộng hoặc trừ các góc 90° để tìm góc trong tam giác. Ví dụ, hướng đông lệch hướng S34°W một góc 90° + 34° = 124°.