Trả lời nhanh
Bài tập cuối chương 5 Toán 10 Cánh diều (trang 20, Tập 2) gồm 8 bài. Kết quả chính: Bài 1 là a) B (20!), b) D (C403); Bài 2 có 12 cách; Bài 3 có 30 tam giác; Bài 4 có 420 hình chữ nhật; Bài 6 có 885 830 400 mật khẩu. Bài 5 là khai triển nhị thức Newton. Bài 7, 8 giải theo phương pháp kèm ví dụ.
Cần nhớ gì trước khi làm bài tập cuối chương 5?
Cả chương xoay quanh một câu hỏi: “đếm bằng cách nào cho gọn?”. Trước khi tính, em hãy tự hỏi hai điều: công việc chia thành các trường hợp hay các bước liên tiếp, và thứ tự có quan trọng không.
| Tình huống | Công cụ | Công thức |
|---|---|---|
| Làm xong việc bằng một trong các phương án, không trùng nhau | Quy tắc cộng | m + n |
| Việc gồm các bước liên tiếp | Quy tắc nhân | m · n |
| Sắp xếp toàn bộ n phần tử | Hoán vị | Pn = n! |
| Chọn k trong n phần tử, có xếp thứ tự | Chỉnh hợp | Ank = n!/(n − k)! |
| Chọn k trong n phần tử, không xếp thứ tự | Tổ hợp | Cnk = n!/[k!(n − k)!] |
| Khai triển lũy thừa của một tổng | Nhị thức Newton | (a + b)n = ΣCnkan−kbk |
Mẹo nhớ: “có xếp thì chỉnh hợp, chỉ chọn thì tổ hợp, xếp tất cả thì hoán vị“. Muốn ôn kỹ hơn, xem phần lý thuyết tại Lý thuyết Bài tập cuối chương 5.
Bài 1 trang 20: trắc nghiệm hoán vị và tổ hợp
a) Có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh theo một hàng dọc? Các phương án: A. 2020; B. 20!; C. 20; D. 1.
Đáp án B. Xếp cả 20 người vào 20 vị trí, mỗi cách xếp là một hoán vị của 20 phần tử nên có 20! cách.
- A sai: 2020 là số cách nếu mỗi vị trí chọn tuỳ ý (có thể lặp người), điều này vô lý vì một bạn không đứng hai chỗ.
- C sai: 20 chỉ là số cách chọn người đứng đầu hàng.
- D sai: chỉ có 1 cách khi thứ tự đã cố định.
b) Số cách chọn 3 học sinh từ lớp 40 học sinh là: A. A403; B. 403; C. 340; D. C403.
Đáp án D. Chọn 3 bạn “đi cùng nhau”, không phân vai trò nên không quan tâm thứ tự: tổ hợp chập 3 của 40. Đáp án A sẽ đúng nếu đề yêu cầu chọn ra 3 bạn làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư (có phân công). Đây là lỗi nhầm phổ biến nhất của chương này.
Bài 2 trang 20: sơ đồ hình cây cho bộ quần áo và giày
Bạn Dương có 2 quần, 3 áo, 2 đôi giày. Bộ quần áo gồm một quần và một áo.
- Chọn quần: 2 cách. Với mỗi quần, chọn áo: 3 cách. Vậy có 2 · 3 = 6 bộ quần áo.
- Với mỗi bộ quần áo, chọn giày: 2 cách.
Sơ đồ cây gồm 2 nhánh quần, mỗi nhánh tách 3 nhánh áo, mỗi nhánh áo tách 2 nhánh giày, tổng cộng 2 · 3 · 2 = 12 “lá”. Đáp số: 12 cách.
Chú ý: đề yêu cầu vẽ sơ đồ cây thì em phải vẽ ra đủ 12 nhánh cuối, ghi rõ màu từng món đồ, đừng chỉ viết phép nhân.
Bài 3 trang 20: đếm tam giác từ 7 điểm trên hai đường thẳng song song
Có 3 điểm trên đường thẳng a và 4 điểm trên đường thẳng b. Ba điểm tạo thành tam giác khi chúng không thẳng hàng, nghĩa là không thể cả ba cùng nằm trên a hoặc cùng nằm trên b.
Cách 1 – chia trường hợp (quy tắc cộng):
- 1 điểm trên a, 2 điểm trên b: C31 · C42 = 3 · 6 = 18.
- 2 điểm trên a, 1 điểm trên b: C32 · C41 = 3 · 4 = 12.
Tổng: 18 + 12 = 30 tam giác.
Cách 2 – đếm phần bù: chọn bất kỳ 3 trong 7 điểm có C73 = 35 cách; trừ bộ ba thẳng hàng trên a (C33 = 1) và trên b (C43 = 4). Ta có 35 − 1 − 4 = 30. Hai cách cho cùng kết quả nên em yên tâm. Đáp số: 30 tam giác.
Bài 4 trang 20: đếm hình chữ nhật
Có 6 đường thẳng song song và 8 đường thẳng song song vuông góc với nhóm 6 đường đó. Một hình chữ nhật được xác định bởi 2 đường ở nhóm 6 và 2 đường ở nhóm 8.
- Chọn 2 trong 6 đường: C62 = 15.
- Chọn 2 trong 8 đường: C82 = 28.
Hai bước liên tiếp nên nhân: 15 · 28 = 420. Đáp số: 420 hình chữ nhật.
Vì sao dùng tổ hợp? Hai đường được chọn cùng nhóm không phân biệt “trước – sau”, đổi chỗ chúng vẫn ra cùng một hình chữ nhật.
Bài 5 trang 20: khai triển bằng nhị thức Newton
Hệ số của (a + b)4 là 1, 4, 6, 4, 1; của (a + b)5 là 1, 5, 10, 10, 5, 1 (hàng của tam giác Pascal).
a) (4y − 1)4 = [4y + (−1)]4
= (4y)4 + 4(4y)3(−1) + 6(4y)2(−1)2 + 4(4y)(−1)3 + (−1)4
= 256y4 − 256y3 + 96y2 − 16y + 1.
b) (3x + 4y)5 = (3x)5 + 5(3x)4(4y) + 10(3x)3(4y)2 + 10(3x)2(4y)3 + 5(3x)(4y)4 + (4y)5
= 243x5 + 1620x4y + 4320x3y2 + 5760x2y3 + 3840xy4 + 1024y5.
Cách kiểm tra nhanh: thay giá trị đặc biệt. Ở câu a, cho y = 1 thì vế trái (4 − 1)4 = 81 và vế phải 256 − 256 + 96 − 16 + 1 = 81. Ở câu b, cho x = y = 1 thì 75 = 16 807 và tổng hệ số 243 + 1620 + 4320 + 5760 + 3840 + 1024 = 16 807. Khớp.
Lỗi hay gặp: quên luỹ thừa của hệ số (ví dụ viết 4y4 thay vì 256y4) và quên dấu âm khi cơ số là (−1). Xem thêm Bài 4: Nhị thức Newton.
Bài 6 trang 20: đếm số mật khẩu máy tính
Mật khẩu 8 kí tự, theo thứ tự: 4 chữ số đôi một khác nhau; 2 chữ cái thường; 1 chữ cái hoa; 1 kí tự đặc biệt (có 10 chữ số, 26 chữ thường, 26 chữ hoa, 10 kí tự đặc biệt).
| Bước | Nội dung | Số cách |
|---|---|---|
| 1 | 4 chữ số khác nhau, có thứ tự (chỉnh hợp) | A104 = 10·9·8·7 = 5040 |
| 2 | 2 chữ thường (được lặp lại) | 262 = 676 |
| 3 | 1 chữ hoa | 26 |
| 4 | 1 kí tự đặc biệt | 10 |
Theo quy tắc nhân: 5040 · 676 · 26 · 10 = 885 830 400. Đáp số: 885 830 400 mật khẩu.
Vì sao bước 1 là chỉnh hợp còn bước 2 là 262? Vì đề chỉ yêu cầu “đôi một khác nhau” với 4 chữ số; hai chữ thường không bị ràng buộc nên có thể trùng.
Bài 7 trang 20: chạy tiếp sức 4 × 100 m
Bài này đề cập đội chạy tiếp sức 4 × 100 m, nghĩa là có 4 bạn chạy và thứ tự chạy là quan trọng (mỗi bạn chạy một chặng khác nhau). Em hãy đối chiếu số liệu trong sách rồi áp dụng khung giải dưới đây; mình minh hoạ bằng một ví dụ tự đặt (không phải số liệu trong sách).
Ví dụ tự đặt: lớp có 5 bạn nam và 4 bạn nữ đủ điều kiện, cần chọn đội 4 bạn gồm 2 nam, 2 nữ rồi xếp thứ tự chạy.
- Chọn 2 nam trong 5: C52 = 10.
- Chọn 2 nữ trong 4: C42 = 6.
- Xếp 4 bạn đã chọn vào 4 chặng: 4! = 24.
Số cách: 10 · 6 · 24 = 1440. Nếu đề không yêu cầu cơ cấu nam/nữ, chỉ chọn 4 trong 9 bạn rồi xếp: A94 = 9·8·7·6 = 3024.
Khung giải: (1) chọn người theo từng nhóm bằng tổ hợp; (2) nhân các kết quả; (3) nhân thêm số hoán vị nếu đề có xếp thứ tự chạy.
Bài 8 trang 20: bác Thảo chọn mua 2 máy tính từ 3 hãng
Đề nói bác Thảo mua 2 chiếc máy tính, người bán giới thiệu 3 hãng. Điều quyết định cách giải là yêu cầu “2 máy cùng hãng” hay “2 máy khác hãng”, và mỗi hãng có bao nhiêu loại. Em thay số liệu theo sách; mình minh hoạ bằng ví dụ tự đặt.
Ví dụ tự đặt: hãng A có 3 loại, hãng B có 4 loại, hãng C có 2 loại. Bác mua 2 máy thuộc 2 hãng khác nhau.
- Hãng A và B: 3 · 4 = 12.
- Hãng A và C: 3 · 2 = 6.
- Hãng B và C: 4 · 2 = 8.
Quy tắc cộng: 12 + 6 + 8 = 26 cách. Kiểm tra bằng phần bù: chọn 2 trong 9 loại có C92 = 36 cách, trừ các cặp cùng hãng C32 + C42 + C22 = 3 + 6 + 1 = 10, còn 26. Hai cách khớp.
Bảng tóm tắt đáp số
| Bài | Đáp số / kiến thức chính |
|---|---|
| 1 | a) B (20!); b) D (C403) |
| 2 | 12 cách (quy tắc nhân, sơ đồ cây) |
| 3 | 30 tam giác |
| 4 | 420 hình chữ nhật |
| 5 | a) 256y4 − 256y3 + 96y2 − 16y + 1; b) 243x5 + 1620x4y + 4320x3y2 + 5760x2y3 + 3840xy4 + 1024y5 |
| 6 | 885 830 400 mật khẩu |
| 7, 8 | Giải theo khung phương pháp ở trên, thay số liệu theo sách |
Bài luyện tập tự giải
- Cho 5 đường thẳng song song và 4 đường thẳng song song vuông góc với 5 đường đó. Có bao nhiêu hình chữ nhật? Đáp án: C52 · C42 = 10 · 6 = 60.
- Khai triển (2x − 3)4. Đáp án: 16x4 − 96x3 + 216x2 − 216x + 81.
- Mã PIN gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Có bao nhiêu mã? Đáp án: A106 = 10·9·8·7·6·5 = 151 200.
Xem thêm tài liệu cùng chương
- Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5
- 30 câu trắc nghiệm Chương 5: Đại số tổ hợp
- Giải Toán 10 trang 20 Tập 2
- Giải SGK Toán 10 – Cánh diều
Câu hỏi thường gặp
Bài tập cuối chương 5 Toán 10 Cánh diều có bao nhiêu bài?
Có 8 bài ở trang 20 Tập 2, gồm trắc nghiệm hoán vị – tổ hợp, bài đếm bằng quy tắc cộng, nhân, khai triển nhị thức Newton và các bài toán thực tế như mật khẩu, chạy tiếp sức, mua máy tính.
Khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp?
Nếu các phần tử được chọn có phân biệt vai trò hay thứ tự (xếp hạng, xếp chặng, lập dãy số) thì dùng chỉnh hợp; nếu chỉ chọn thành một nhóm, đổi chỗ không tạo cách mới thì dùng tổ hợp.
Làm sao kiểm tra nhanh kết quả khai triển nhị thức Newton?
Thay biến bằng số đặc biệt, thường là 1, rồi so sánh hai vế. Ví dụ (4y − 1)^4 với y = 1 cho 81 ở cả hai vế. Tổng hệ số cũng phải bằng giá trị biểu thức ban đầu.
Đếm tam giác từ các điểm trên hai đường thẳng song song nên làm cách nào?
Có hai cách: chia trường hợp (1 điểm + 2 điểm) rồi cộng, hoặc lấy tổng số cách chọn 3 điểm trừ các bộ ba thẳng hàng. Bài 3 cho cùng kết quả 30 theo cả hai cách.