Công thức phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy lớp 10

Trả lời nhanh

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy xoay quanh bốn nhóm công thức: tọa độ điểm và vectơ, phương trình đường thẳng (tổng quát, tham số, chính tắc), góc và khoảng cách, cuối cùng là phương trình đường tròn và ba đường conic. Điều cần nhớ nhất: đường thẳng Ax + By + C = 0 có vectơ pháp tuyến (A; B), và khoảng cách từ M(x₀; y₀) đến nó là |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ

Cho A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), các vectơ u = (u₁; u₂), v = (v₁; v₂).

Nội dung	Công thức
Vectơ AB	AB = (x_B − x_A; y_B − y_A)
Độ dài đoạn AB	AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²]
Trung điểm I của AB	I((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2)
Trọng tâm G của tam giác ABC	G((x_A + x_B + x_C)/3; (y_A + y_B + y_C)/3)
Tích vô hướng	u·v = u₁v₁ + u₂v₂
Góc giữa hai vectơ	cos(u, v) = (u₁v₁ + u₂v₂) / (\|u\|·\|v\|)
Hai vectơ vuông góc	u₁v₁ + u₂v₂ = 0
Hai vectơ cùng phương	u₁v₂ − u₂v₁ = 0

Mẹo nhớ: “vuông góc thì nhân cùng vị trí rồi cộng bằng 0, cùng phương thì nhân chéo rồi trừ bằng 0”.

2. Phương trình đường thẳng

Mỗi đường thẳng Δ có hai loại vectơ đặc trưng: vectơ chỉ phương (VTCP) song song với Δ và vectơ pháp tuyến (VTPT) vuông góc với Δ. Nếu VTCP là u = (a; b) thì một VTPT là n = (b; −a) (hoặc (−b; a)), và ngược lại.

Đường thẳng d đi qua M0 với vectơ chỉ phương u và vectơ pháp tuyến n vuông góc với d — Vectơ chỉ phương u song song với d, vectơ pháp tuyến n vuông góc với d.

Dạng	Điều kiện – công thức
Tổng quát	Ax + By + C = 0 (A² + B² > 0), VTPT n = (A; B)
Qua M₀(x₀; y₀), VTPT n = (A; B)	A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0
Tham số (qua M₀, VTCP u = (a; b))	x = x₀ + at, y = y₀ + bt (t là tham số)
Chính tắc (a ≠ 0, b ≠ 0)	(x − x₀)/a = (y − y₀)/b
Đoạn chắn (qua A(a; 0), B(0; b), a, b ≠ 0)	x/a + y/b = 1
Hệ số góc k	y − y₀ = k(x − x₀), VTCP (1; k)
Qua hai điểm A, B	Lấy VTCP là AB rồi viết dạng tham số hoặc chính tắc

Các trường hợp đặc biệt: đường thẳng song song với Ox có dạng y = m, song song với Oy có dạng x = n, đi qua gốc O có dạng Ax + By = 0.

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0. Đặt D = a₁b₂ − a₂b₁.

Cắt nhau khi D ≠ 0 (nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình chính là giao điểm).
Song song khi D = 0 và hệ vô nghiệm. Nếu a₂, b₂, c₂ đều khác 0 thì viết gọn: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
Trùng nhau khi a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (với mẫu khác 0).
Vuông góc khi a₁a₂ + b₁b₂ = 0 (hai VTPT vuông góc).

Lỗi hay gặp: nhiều bạn nhớ nhầm điều kiện vuông góc là a₁·a₂ = −1. Điều đó chỉ đúng cho hệ số góc (k₁·k₂ = −1, khi cả hai đường đều có hệ số góc). Với phương trình tổng quát, phải dùng a₁a₂ + b₁b₂ = 0. Dùng định thức D cũng giúp tránh chia cho 0 khi có hệ số bằng 0.

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc φ giữa d₁ và d₂ thoả 0° ≤ φ ≤ 90° và:

cos φ = |a₁a₂ + b₁b₂| / (√(a₁² + b₁²) · √(a₂² + b₂²))

Dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc, vì góc giữa hai đường thẳng không bao giờ tù. Hai đường song song hoặc trùng thì góc bằng 0°.

5. Khoảng cách

Điểm đến đường thẳng: d(M, Δ) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²), với Δ: Ax + By + C = 0 và M(x₀; y₀).
Hai đường thẳng song song: lấy một điểm bất kì trên đường này, tính khoảng cách đến đường kia.
Hai điểm: độ dài AB ở mục 1.

Trước khi áp dụng, hãy đưa phương trình về dạng một vế bằng 0. Quên bước này là lỗi sai rất phổ biến.

6. Đường tròn

Nội dung	Công thức
Phương trình chính tắc (tâm I(a; b), bán kính R)	(x − a)² + (y − b)² = R²
Phương trình khai triển	x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, với a² + b² − c > 0; khi đó R = √(a² + b² − c)
Tiếp tuyến tại M₀(x₀; y₀) thuộc đường tròn	(x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = 0 (VTPT là IM₀)
Đường thẳng Δ và đường tròn (I; R)	d(I, Δ) < R: cắt tại hai điểm; d(I, Δ) = R: tiếp xúc; d(I, Δ) > R: không giao nhau

Cách nhớ: tâm là “trừ đi” trong dạng chính tắc, nhưng là “hệ số chia đôi, đổi dấu” trong dạng khai triển (hệ số của x là −2a nên a = −(hệ số x)/2).

7. Ba đường conic

	Elip	Hypebol	Parabol
Phương trình chính tắc	x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)	x²/a² − y²/b² = 1 (a, b > 0)	y² = 2px (p > 0)
Quan hệ	c² = a² − b²	c² = a² + b²	—
Tiêu điểm	F₁(−c; 0), F₂(c; 0)	F₁(−c; 0), F₂(c; 0)	F(p/2; 0)
Định nghĩa	MF₁ + MF₂ = 2a	\|MF₁ − MF₂\| = 2a	MF = khoảng cách từ M đến đường chuẩn
Đặc điểm	Đỉnh (±a; 0), (0; ±b); trục lớn 2a, trục nhỏ 2b; tâm sai e = c/a (0 < e < 1)	Đỉnh (±a; 0); tiệm cận y = ±(b/a)x; e = c/a > 1	Đường chuẩn x = −p/2; đỉnh O

Mẹo nhớ c²: elip “hụt” nên trừ (a lớn nhất nên c nhỏ hơn a); hypebol “mở rộng” nên cộng (c lớn hơn a).

8. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng Δ qua A(1; 2), B(3; 6) rồi tính khoảng cách từ M(4; 1) đến Δ.

Giải: AB = (2; 4), chọn VTPT n = (2; −1). Phương trình: 2(x − 1) − (y − 2) = 0, tức 2x − y = 0. Kiểm tra B: 2·3 − 6 = 0 (đúng). Khoảng cách: d(M, Δ) = |2·4 − 1| / √5 = 7/√5 = 7√5/5.

Ví dụ 2. Tính góc giữa d₁: x + 2y − 3 = 0 và d₂: 3x − y + 1 = 0.

Giải: a₁a₂ + b₁b₂ = 1·3 + 2·(−1) = 1; √5 · √10 = √50. Vậy cos φ = 1/√50 ≈ 0,1414, suy ra φ ≈ 81,9°.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (C): x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0. Tìm tâm, bán kính và tiếp tuyến tại M(5; 1).

Giải: a = 2, b = −3, c = −12 nên R² = 4 + 9 + 12 = 25, R = 5; tâm I(2; −3). M thuộc (C) vì 25 + 1 − 20 + 6 − 12 = 0. Tiếp tuyến: (5 − 2)(x − 2) + (1 + 3)(y + 3) = 0, tức 3x + 4y + 6 = 0. Kiểm tra: d(I, tiếp tuyến) = |6 − 12 + 6|/5 = 0? Ở đây ta cần so sánh với R, nên tính lại đúng: tiếp tuyến đi qua M(5; 1), kiểm tra 3·5 + 4·1 + 6 = 25 ≠ 0. Do đó phải biến đổi cẩn thận: 3(x − 2) + 4(y + 3) = 3x + 4y + 6 là phương trình đường thẳng đi qua I, không phải tiếp tuyến. Công thức đúng là (x₀ − a)(x − x₀) + (y₀ − b)(y − y₀) = 0, tức 3(x − 5) + 4(y − 1) = 0, hay 3x + 4y − 19 = 0. Kiểm tra: d(I, tiếp tuyến) = |6 − 12 − 19|/5 = 25/5 = 5 = R (đúng).

Ghi chú: dạng viết (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = 0 ở bảng mục 6 không đúng; hãy dùng dạng (x₀ − a)(x − x₀) + (y₀ − b)(y − y₀) = 0, nghĩa là tiếp tuyến đi qua M₀ và nhận IM₀ làm VTPT.

Ví dụ 4. Elip x²/25 + y²/9 = 1 có a = 5, b = 3, c = √(25 − 9) = 4. Tiêu điểm F₁(−4; 0), F₂(4; 0), tiêu cự 8, trục lớn 10, trục nhỏ 6, tâm sai e = 4/5.

9. Bài luyện tập (có đáp án)

Xét vị trí tương đối của d₁: 2x − 4y + 1 = 0 và d₂: x − 2y + 3 = 0, rồi tính khoảng cách giữa chúng.
Viết phương trình đường tròn tâm I(1; −2) tiếp xúc với đường thẳng 3x − 4y + 4 = 0.
Hypebol x²/9 − y²/16 = 1: tìm tiêu điểm và phương trình hai tiệm cận.

Đáp án.

2/1 = (−4)/(−2) = 2 ≠ 1/3 nên d₁ // d₂. Lấy (−3; 0) thuộc d₂: d = |−6 + 1|/√20 = 5/(2√5) = √5/2.
R = d(I, Δ) = |3 + 8 + 4|/5 = 3. Phương trình: (x − 1)² + (y + 2)² = 9.
c² = 9 + 16 = 25 nên c = 5; tiêu điểm (±5; 0). Tiệm cận y = ±(4/3)x.

10. Tài liệu luyện thêm

Lý thuyết, bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy có đáp án
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
17 dạng toán hình học giải tích phẳng Oxy
10 kỹ thuật tiếp cận bài toán hình học Oxy
Trắc nghiệm ôn tập chương 3 có đáp án – Toán lớp 10

Câu hỏi thường gặp

Điều kiện hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng Oxy là gì?

Với phương trình tổng quát a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0, hai đường thẳng vuông góc khi a1a2 + b1b2 = 0. Nếu cả hai có hệ số góc thì điều kiện là k1·k2 = −1.

Làm sao đổi từ vectơ chỉ phương sang vectơ pháp tuyến?

Nếu VTCP là u = (a; b) thì VTPT là n = (b; −a) hoặc (−b; a): đổi chỗ hai tọa độ rồi đổi dấu một tọa độ. Hai vectơ này vuông góc vì ab + b(−a) = 0.

Khi nào phương trình x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình đường tròn?

Khi a² + b² − c > 0. Lúc đó đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = √(a² + b² − c).

Làm sao phân biệt công thức c² của elip và hypebol?

Elip có c² = a² − b² (c nhỏ hơn a), hypebol có c² = a² + b² (c lớn hơn a). Nhớ: elip trừ, hypebol cộng.