Trả lời nhanh
Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c > 0 (hoặc <, ≥, ≤) với a ≠ 0. Để giải, ta đặt f(x) = ax² + bx + c, tính ∆, tìm nghiệm của f(x) nếu có, xét dấu f(x) theo dấu của a rồi chọn các khoảng thoả dấu yêu cầu. Tập nghiệm có thể là một khoảng, hợp hai khoảng, một điểm, ℝ hoặc rỗng.
1. Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì?
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có một trong bốn dạng:
- ax² + bx + c > 0
- ax² + bx + c ≥ 0
- ax² + bx + c < 0
- ax² + bx + c ≤ 0
trong đó a, b, c là các số thực cho trước và a ≠ 0. Vế trái chính là một tam thức bậc hai. Vì vậy, muốn làm tốt bài này em cần nắm chắc kiến thức ở bài trước: Dấu của tam thức bậc hai.
Nghiệm của bất phương trình là giá trị của x khi thay vào ta được một mệnh đề đúng. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm, tức là tìm tập nghiệm.
Ví dụ 1 – Nhận dạng và thử nghiệm
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bậc hai một ẩn? Với bất phương trình bậc hai, kiểm tra x = 1 có là nghiệm không.
a) 3x² – 5x + 1 ≥ 0; b) x³ – 4x + 2 < 0; c) (x – 1)(x + 2) < 0; d) 0·x² + 2x – 1 > 0.
- a) Là bậc hai (a = 3, b = –5, c = 1). Thay x = 1: 3 – 5 + 1 = –1, mà –1 ≥ 0 sai ⇒ x = 1 không là nghiệm.
- b) Không phải, vì có x³ (bậc ba).
- c) Khai triển: x² + x – 2 < 0, là bậc hai (a = 1). Thay x = 1: (0)(3) = 0, mà 0 < 0 sai ⇒ x = 1 không là nghiệm.
- d) Không phải, vì hệ số của x² bằng 0 nên thực chất là bất phương trình bậc nhất.
Lưu ý: luôn khai triển, thu gọn rồi mới kết luận bậc. Nhiều bạn nhìn thấy tích hai nhân tử hoặc thấy x² ở hai vế mà vội kết luận sai.
2. Quy trình 4 bước giải bất phương trình bậc hai
- Đưa về dạng chuẩn: chuyển tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0, thu gọn để được f(x) ⋚ 0 với f(x) = ax² + bx + c.
- Tính ∆ = b² – 4ac (hoặc ∆’ nếu b chẵn) và tìm nghiệm của f(x) nếu có.
- Xét dấu f(x): lập bảng xét dấu hoặc dùng đồ thị parabol y = f(x) (a > 0 bề lõm hướng lên, a < 0 bề lõm hướng xuống).
- Chọn khoảng và kết luận: lấy các khoảng mà f(x) mang dấu đề yêu cầu. Chú ý đầu mút: dấu ≥, ≤ thì lấy nghiệm (ngoặc vuông), dấu >, < thì không lấy (ngoặc tròn).
3. Nhìn đồ thị để hiểu vì sao tập nghiệm có dạng đó
Nghiệm của f(x) > 0 chính là hoành độ các điểm mà parabol nằm phía trên trục hoành; nghiệm của f(x) < 0 là hoành độ các điểm parabol nằm phía dưới trục hoành. Hình dưới minh hoạ cho f(x) = x² – 5x + 6 (a = 1 > 0, hai nghiệm 2 và 3).
Parabol cắt trục hoành tại x = 2 và x = 3. Ở “bên ngoài” hai nghiệm, đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0; ở “bên trong”, đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0.
4. Bảng tập nghiệm khi a > 0
Với a > 0, ta có thể tra nhanh theo ∆ (gọi x₁ < x₂ là hai nghiệm khi ∆ > 0, x₀ = –b/(2a) là nghiệm kép khi ∆ = 0):
| Trường hợp | f(x) > 0 | f(x) ≥ 0 | f(x) < 0 | f(x) ≤ 0 |
|---|---|---|---|---|
| ∆ < 0 | ℝ | ℝ | ∅ | ∅ |
| ∆ = 0 | ℝ \ {x₀} | ℝ | ∅ | {x₀} |
| ∆ > 0 | (–∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | (–∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) | (x₁; x₂) | [x₁; x₂] |
Khi a < 0, em nhân hai vế với –1 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức) để đưa về a > 0 rồi dùng bảng trên. Cách này an toàn hơn việc học thêm một bảng thứ hai.
Mẹo nhớ: “Trong trái – ngoài cùng”. Trong khoảng hai nghiệm, f(x) trái dấu với a; ngoài khoảng hai nghiệm, f(x) cùng dấu với a.
5. Các ví dụ có lời giải
Ví dụ 2 – Trường hợp ∆ > 0
Giải x² – 5x + 6 > 0.
Đặt f(x) = x² – 5x + 6. ∆ = 25 – 24 = 1 > 0, hai nghiệm x₁ = 2, x₂ = 3. Vì a = 1 > 0 nên f(x) > 0 ở ngoài đoạn [2; 3]. Tập nghiệm: (–∞; 2) ∪ (3; +∞).
Ví dụ 3 – Trường hợp ∆ = 0 và a < 0
Giải –x² + 4x – 4 ≥ 0.
Ta có f(x) = –x² + 4x – 4 = –(x – 2)². Do đó f(x) ≤ 0 với mọi x và f(x) = 0 chỉ khi x = 2. Bởi vậy f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi x = 2. Tập nghiệm: {2}.
Kiểm tra bằng ∆: ∆ = 16 – 16 = 0, a = –1 < 0, khớp kết quả trên.
Ví dụ 4 – Trường hợp ∆ < 0
Giải 2x² – x + 3 < 0.
∆ = 1 – 24 = –23 < 0 và a = 2 > 0 nên 2x² – x + 3 > 0 với mọi x. Không có x nào làm biểu thức âm. Tập nghiệm: ∅ (bất phương trình vô nghiệm).
Ví dụ 5 – Phải biến đổi về dạng chuẩn
Giải 3x² – x ≤ x² + 2x + 2.
Chuyển vế: 3x² – x – x² – 2x – 2 ≤ 0 ⇔ 2x² – 3x – 2 ≤ 0. Có ∆ = 9 + 16 = 25, hai nghiệm x = (3 – 5)/4 = –1/2 và x = (3 + 5)/4 = 2. Vì a = 2 > 0 nên f(x) ≤ 0 trong đoạn giữa hai nghiệm (lấy cả hai đầu mút do dấu ≤). Tập nghiệm: [–1/2; 2].
Ví dụ 6 – Bài toán thực tế
Một quả bóng được ném lên từ độ cao 1 m. Sau t giây (0 ≤ t ≤ 4), độ cao của bóng là h(t) = –5t² + 20t + 1 (mét). Trong khoảng thời gian nào bóng ở độ cao không thấp hơn 16 m?
Cần h(t) ≥ 16 ⇔ –5t² + 20t – 15 ≥ 0 ⇔ t² – 4t + 3 ≤ 0 (chia hai vế cho –5, đổi chiều). Nghiệm của t² – 4t + 3 là 1 và 3, a > 0 nên bất phương trình có nghiệm 1 ≤ t ≤ 3. Vậy từ giây thứ 1 đến giây thứ 3, bóng ở độ cao từ 16 m trở lên (thoả điều kiện 0 ≤ t ≤ 4).
Ví dụ 7 – Bất phương trình chứa tham số
Tìm m để x² – 2mx + m + 2 > 0 đúng với mọi số thực x.
Vì a = 1 > 0, biểu thức dương với mọi x khi và chỉ khi nó vô nghiệm, tức ∆’ < 0. Ở đây b’ = –m nên ∆’ = m² – (m + 2) = m² – m – 2 = (m – 2)(m + 1). Giải (m – 2)(m + 1) < 0 được –1 < m < 2. Vậy m ∈ (–1; 2).
6. Lỗi sai thường gặp
- Quên đổi chiều khi nhân hoặc chia hai vế với số âm.
- Nhầm ngoặc: dấu ≥, ≤ phải dùng ngoặc vuông ở nghiệm; dấu >, < dùng ngoặc tròn. Riêng ±∞ luôn dùng ngoặc tròn.
- Kết luận sai khi ∆ = 0: f(x) > 0 không lấy x₀ nhưng f(x) ≥ 0 thì nghiệm là cả ℝ (với a > 0).
- Nhầm “trong/ngoài”: vẽ nhanh parabol (a > 0 hướng lên, a < 0 hướng xuống) để kiểm tra lại dấu.
- Chuyển vế không thu gọn hết nên sai hệ số a, b, c.
- Bỏ sót điều kiện của thực tế: với bài toán thời gian, độ dài, nghiệm phải thoả điều kiện của đề.
7. Bài tự luyện (có đáp án)
Bài 1. Giải 3x² – 7x + 2 < 0.
Bài 2. Giải –x² + 6x – 9 < 0.
Bài 3. Giải x² + x + 5 ≤ 0.
Bài 4. Tìm m để x² – 4x + m > 0 đúng với mọi x.
Đáp án và hướng dẫn
- Bài 1: ∆ = 49 – 24 = 25; nghiệm x = (7 – 5)/6 = 1/3 và x = (7 + 5)/6 = 2. Vì a = 3 > 0, f(x) < 0 trong khoảng giữa hai nghiệm. Tập nghiệm (1/3; 2).
- Bài 2: –x² + 6x – 9 = –(x – 3)² ≤ 0, bằng 0 tại x = 3. Do đó nó < 0 khi x ≠ 3. Tập nghiệm ℝ \ {3}.
- Bài 3: ∆ = 1 – 20 = –19 < 0 và a = 1 > 0 nên x² + x + 5 > 0 với mọi x. Bất phương trình vô nghiệm, tập nghiệm ∅.
- Bài 4: a = 1 > 0 nên cần ∆’ < 0. Ta có ∆’ = 4 – m < 0 ⇔ m > 4. Vậy m ∈ (4; +∞).
8. Học tiếp ở đâu?
Sau khi nắm lý thuyết, em làm bài tập trong Giải SGK Toán 10 Bài 2 và Sách bài tập Toán 10 Bài 2. Muốn kiểm tra nhanh, hãy thử 20 câu trắc nghiệm Dấu của tam thức bậc hai. Bài kế tiếp là Phương trình quy về phương trình bậc hai. Toàn bộ kiến thức chương nằm trong Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo.
Câu hỏi thường gặp
Bất phương trình bậc hai một ẩn khác phương trình bậc hai thế nào?
Phương trình bậc hai có dấu “=” và có tối đa hai nghiệm cụ thể. Bất phương trình bậc hai dùng dấu >, <, ≥, ≤ nên tập nghiệm thường là khoảng, đoạn hoặc hợp các khoảng.
Khi a < 0 thì giải thế nào?
Nhân hai vế với –1 và đổi chiều bất đẳng thức để đưa về a > 0, hoặc xét dấu trực tiếp: trong khoảng hai nghiệm f(x) cùng dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a. Cần nhớ lại quy tắc “trong trái – ngoài cùng” để chọn đúng.
Khi nào tập nghiệm là ℝ hoặc rỗng?
Với a > 0 và ∆ < 0, f(x) > 0 với mọi x nên f(x) > 0 hoặc f(x) ≥ 0 có tập nghiệm ℝ, còn f(x) < 0 hoặc f(x) ≤ 0 vô nghiệm. Với a < 0 và ∆ < 0 thì ngược lại.
Tìm m để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng với mọi x thì làm sao?
Xét dấu của a và ∆. Ví dụ ax² + bx + c > 0 với mọi x khi a > 0 và ∆ < 0. Nếu hệ số a chứa tham số m, nhớ xét thêm trường hợp a = 0.