Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi cùng hướng và cùng độ dài
Lớp 10Toán

Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi nào?

Trả lời nhanh

Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Như vậy, chỗ trống trong câu “cùng hướng và có độ dài …” được điền là “bằng nhau”. Hai điều kiện phải đồng thời xảy ra: chỉ thoả một trong hai thì chưa đủ để kết luận a = b.

Định nghĩa hai vectơ bằng nhau

Cho hai vectơ a và b. Ta viết a = b khi và chỉ khi:

  • |a| = |b| (độ dài bằng nhau), và
  • a, b cùng hướng (cùng phương và cùng chiều).

Nhớ nhanh: vectơ có hai “đặc điểm nhận dạng” là hướng và độ dài. Hai vectơ giống nhau cả hai đặc điểm thì bằng nhau, còn vị trí đặt trên mặt phẳng không quan trọng.

Vì sao phải có đủ cả hai điều kiện?

  • Chỉ cùng độ dài: hai vectơ có thể chỉ về hai hướng khác nhau (ví dụ hai cạnh kề của hình vuông), nên không bằng nhau.
  • Chỉ cùng hướng: một vectơ dài 3 cm và một vectơ dài 5 cm cùng chiều vẫn là hai vectơ khác nhau.
  • Cùng độ dài nhưng ngược hướng: đó là hai vectơ đối nhau, kí hiệu b = −a, không phải bằng nhau.

Vì vậy “cùng hướng” và “cùng độ dài” là điều kiện cần và đủ, thiếu một cái là sai.

Hai vectơ bằng nhau trên hình bình hành

Trong hình bình hành ABCD, hai cạnh đối AB và DC song song, bằng nhau và cùng chiều khi đi từ trái sang phải. Do đó vectơ AB bằng vectơ DC.

Hình bình hành ABCD với hai vectơ AB và DC cùng hướng, cùng độ dài
Trong hình bình hành ABCD, vectơ AB bằng vectơ DC.

Ngược lại, nếu vectơ AB = vectơ DC (và bốn điểm không thẳng hàng) thì ABCD là hình bình hành. Đây là cách chứng minh hình bình hành rất hay dùng.

Lưu ý thứ tự chữ cái: AB = DC nhưng AB không bằng CD, vì CD ngược hướng với AB (chúng là hai vectơ đối nhau).

Hai vectơ bằng nhau trong tọa độ

Với a = (x1; y1) và b = (x2; y2):

a = b ⇔ x1 = x2 và y1 = y2.

Cách này tiện vì bạn không cần xét hướng hay độ dài, chỉ so sánh hai tọa độ tương ứng.

Vectơ-không và một tính chất cần nhớ

  • Vectơ-không 0 có độ dài bằng 0 và được quy ước cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ-không đều bằng nhau, chẳng hạn AA = BB = 0.
  • Cho vectơ a và điểm O bất kì, có duy nhất một điểm M sao cho OM = a. Nhờ vậy ta có thể “dời” vectơ về gốc tuỳ ý mà không đổi giá trị.

Lỗi sai thường gặp

  1. Cho rằng hai vectơ có độ dài bằng nhau thì bằng nhau (quên xét hướng).
  2. Nhầm vectơ bằng nhau với vectơ đối nhau, đặc biệt khi viết AB và CD thay vì AB và DC.
  3. Nghĩ hai vectơ bằng nhau phải trùng nhau hoặc có chung điểm đầu. Thực tế chúng có thể nằm ở những vị trí khác nhau, miễn là cùng hướng và cùng độ dài.

Bài luyện tập

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm vectơ bằng vectơ AO và vectơ bằng vectơ OB.

Đáp án: O là trung điểm của AC và BD. AO cùng hướng, cùng độ dài với OC nên AO = OC. Tương tự OB = DO.

Bài 2. Cho a = (2; −3) và b = (m + 1; 2n − 1). Tìm m, n để a = b.

Đáp án: m + 1 = 2 nên m = 1; 2n − 1 = −3 nên n = −1.

Bài 3. Cho A(1; 2), B(4; 6), C(−1; 0). Tìm D sao cho vectơ AB = vectơ CD.

Đáp án: AB = (3; 4). Gọi D(x; y) thì CD = (x + 1; y). Từ CD = AB ta có x + 1 = 3 và y = 4, suy ra D(2; 4).

Câu hỏi thường gặp

Hai vectơ bằng nhau khi nào?

Khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Cả hai điều kiện phải thoả mãn đồng thời.

Hai vectơ cùng độ dài thì có bằng nhau không?

Chưa chắc. Nếu chúng khác hướng thì không bằng nhau; nếu ngược hướng thì chúng là hai vectơ đối nhau.

Hai vectơ bằng nhau có nhất thiết phải trùng nhau không?

Không. Hai vectơ bằng nhau có thể đặt ở các vị trí khác nhau, chỉ cần cùng hướng và cùng độ dài.

Trong tọa độ, hai vectơ bằng nhau khi nào?

Khi hoành độ bằng hoành độ và tung độ bằng tung độ, tức là (x1; y1) = (x2; y2) khi x1 = x2 và y1 = y2.

Bài học liên quan