Trả lời nhanh
Hàm số y = x² + 3x + 2 có a = 1 > 0, đỉnh I(−3/2; −1/4), trục đối xứng x = −3/2. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −3/2), đồng biến trên (−3/2; +∞), giá trị nhỏ nhất bằng −1/4. Đồ thị cắt Ox tại (−2; 0), (−1; 0) và cắt Oy tại (0; 2).
Lưu ý: tiêu đề gốc của bài chỉ cho biết dạng “y = x² ± 3x ± 2”, nên ở đây ta giải chi tiết y = x² + 3x + 2. Nếu đề của em có dấu khác, hãy làm đúng theo các bước ở phần sau, rồi đối chiếu bảng tổng hợp ở cuối bài.
Bước 1: Nhận dạng hàm số
Hàm số y = ax² + bx + c với a = 1, b = 3, c = 2. Vì a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên, đỉnh là điểm thấp nhất của đồ thị.
Bước 2: Tìm đỉnh và trục đối xứng
- Hoành độ đỉnh: xI = −b/(2a) = −3/2.
- Biệt thức Δ = b² − 4ac = 9 − 8 = 1.
- Tung độ đỉnh: yI = −Δ/(4a) = −1/4. (Kiểm tra bằng cách thay: (−3/2)² + 3·(−3/2) + 2 = 9/4 − 9/2 + 2 = −1/4 ✓.)
- Trục đối xứng: đường thẳng x = −3/2.
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Vì a > 0, hàm số giảm bên trái hoành độ đỉnh và tăng bên phải.
| x | −∞ | −3/2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | +∞ | ↘ (giảm) | −1/4 | ↗ (tăng) | +∞ |
Kết luận: hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −3/2), đồng biến trên khoảng (−3/2; +∞), đạt giá trị nhỏ nhất y = −1/4 tại x = −3/2.
Bước 4: Tìm các điểm đặc biệt
- Giao với Oy: cho x = 0 được y = 2, điểm (0; 2).
- Giao với Ox: giải x² + 3x + 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = −1 hoặc x = −2.
- Điểm đối xứng với (0; 2) qua trục x = −3/2 là (−3; 2). Dùng tính đối xứng giúp tiết kiệm công tính thêm điểm.
| x | −3 | −2 | −3/2 | −1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 0 | −1/4 | 0 | 2 |
Bước 5: Vẽ đồ thị
Vẽ trục đối xứng bằng nét đứt, chấm các điểm trong bảng rồi nối bằng một đường cong trơn, đối xứng qua trục. Đừng nối thẳng các điểm bằng thước: đỉnh parabol phải “tròn”.
Nếu đề có dấu khác thì sao?
Quy trình vẫn y hệt: tính xI = −b/(2a), yI = −Δ/(4a), xét dấu a, tìm giao điểm. Kết quả cho các biến thể thường gặp:
| Hàm số | Đỉnh | Giá trị nhỏ nhất | Giao Ox | Giao Oy |
|---|---|---|---|---|
| y = x² + 3x + 2 | (−3/2; −1/4) | −1/4 | x = −2; x = −1 | (0; 2) |
| y = x² − 3x + 2 | (3/2; −1/4) | −1/4 | x = 1; x = 2 | (0; 2) |
| y = x² − 3x − 2 | (3/2; −17/4) | −17/4 | x = (3 ± √17)/2 | (0; −2) |
| y = x² + 3x − 2 | (−3/2; −17/4) | −17/4 | x = (−3 ± √17)/2 | (0; −2) |
Với y = x² − 3x + 2, bảng biến thiên có mốc x = 3/2: nghịch biến trên (−∞; 3/2), đồng biến trên (3/2; +∞). Đồ thị của nó đối xứng với đồ thị y = x² + 3x + 2 qua trục Oy (vì thay x bằng −x).
Lỗi sai thường gặp
- Quên dấu trừ trong xI = −b/(2a): với b = 3 thì đỉnh nằm bên trái trục Oy.
- Ghi tung độ đỉnh là Δ/(4a) thay vì −Δ/(4a). Cách chắc ăn là thay xI vào hàm số để kiểm tra.
- Viết bảng biến thiên sai chiều mũi tên khi a < 0 (khi đó hàm tăng rồi giảm, đỉnh là giá trị lớn nhất).
- Vẽ parabol không đối xứng hoặc không đi qua đúng giao điểm với trục.
Mẹo nhớ
“a dương – parabol cười (bề lõm lên), hàm giảm rồi tăng; a âm – parabol buồn, hàm tăng rồi giảm.” Đỉnh luôn là điểm đổi chiều trong bảng biến thiên.
Bài luyện tập
- Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị y = −x² + 2x + 3.
- Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị y = 2x² − 4x.
Đáp án gợi ý:
- a = −1 < 0; đỉnh (1; 4); hàm số đồng biến trên (−∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞), giá trị lớn nhất bằng 4. Giao Ox: x = −1, x = 3; giao Oy: (0; 3).
- a = 2 > 0; đỉnh (1; −2); hàm số nghịch biến trên (−∞; 1), đồng biến trên (1; +∞), giá trị nhỏ nhất bằng −2. Giao Ox: x = 0, x = 2; giao Oy: (0; 0).
Câu hỏi thường gặp
Bảng biến thiên của hàm số y = x² + 3x + 2 như thế nào?
Hàm số giảm trên (−∞; −3/2), tăng trên (−3/2; +∞) và đạt giá trị nhỏ nhất bằng −1/4 tại x = −3/2; hai đầu của bảng đều là +∞.
Làm sao tìm nhanh đỉnh của parabol y = ax² + bx + c?
Tính x = −b/(2a), sau đó thay vào hàm số để được tung độ đỉnh (hoặc dùng y = −Δ/(4a) với Δ = b² − 4ac).
Khi nào bảng biến thiên có giá trị lớn nhất thay vì nhỏ nhất?
Khi a < 0: parabol bề lõm xuống, hàm số tăng rồi giảm nên đỉnh là giá trị lớn nhất.
Cần bao nhiêu điểm để vẽ đồ thị hàm số bậc hai?
Thường lấy đỉnh, giao điểm với hai trục và một vài điểm đối xứng qua trục đối xứng, khoảng 5 điểm là đủ để vẽ đẹp.