Trả lời nhanh
Với đề quen thuộc “Cho α là góc tù, khẳng định nào sau đây đúng?” gồm A. sin α < 0; B. cos α > 0; C. tan α < 0; D. cot α > 0, đáp án đúng là C. tan α < 0. Góc tù nằm ở góc phần tư thứ II nên sin α > 0, cos α < 0. Do đó tan α = sin α / cos α âm và cot α cũng âm.
Đề bài và phương án
Đề thường gặp ở phần giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° (Toán 10):
- A. sin α < 0
- B. cos α > 0
- C. tan α < 0
- D. cot α > 0
Góc tù là góc α thoả mãn 90° < α < 180°. Ta chỉ cần nhớ dấu của sin và cos ở khoảng này, các giá trị còn lại suy ra từ đó.
Giải thích bằng đường tròn lượng giác
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM = α. Khi đó M có toạ độ (cos α; sin α): hoành độ là cos α, tung độ là sin α.
Góc tù ứng với M nằm ở phần tư thứ II: bên trái trục tung (hoành độ âm) và phía trên trục hoành (tung độ dương).
- Tung độ dương nên sin α > 0.
- Hoành độ âm nên cos α < 0.
- tan α = sin α / cos α: tử dương, mẫu âm nên tan α < 0.
- cot α = cos α / sin α: tử âm, mẫu dương nên cot α < 0.
Loại trừ từng phương án
| Phương án | Nhận xét | Kết luận |
|---|---|---|
| A. sin α < 0 | Sin của góc từ 0° đến 180° luôn không âm; góc tù có sin dương (ví dụ sin 120° = √3/2). | Sai |
| B. cos α > 0 | Cos dương chỉ khi góc nhọn; góc tù có cos âm (cos 120° = −1/2). | Sai |
| C. tan α < 0 | Sin dương chia cos âm cho kết quả âm (tan 120° = −√3). | Đúng |
| D. cot α > 0 | cot α = cos α / sin α âm (cot 120° = −√3/3). | Sai |
Mẹo nhớ dấu theo từng loại góc
| Loại góc | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|
| Góc nhọn (0° < α < 90°) | + | + | + | + |
| Góc tù (90° < α < 180°) | + | − | − | − |
Mẹo: trong khoảng 0° đến 180°, sin luôn dương (trừ 0° và 180° bằng 0). Chỉ cần nhớ “góc tù thì cos âm”, mọi giá trị còn lại tự suy ra.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm góc tù với góc nhọn, cho rằng mọi giá trị lượng giác đều dương.
- Cho rằng sin α âm vì “góc lớn hơn 90°”. Thực ra sin chỉ âm khi góc lớn hơn 180° (chương trình mở rộng).
- Quên rằng tan 90° và cot 0°, cot 180° không xác định, nên các phát biểu về tan, cot chỉ xét khi α khác các giá trị đó. Với góc tù thì không gặp vấn đề này.
Bài luyện tập
- Cho α là góc tù và sin α = 3/5. Tính cos α và tan α.
Đáp án: cos2α = 1 − 9/25 = 16/25. Vì α tù nên cos α = −4/5, suy ra tan α = (3/5)/(−4/5) = −3/4. - Xác định dấu của biểu thức sin α · cot α khi α là góc tù.
Đáp án: sin α > 0, cot α < 0 nên tích âm. (Thực tế sin α · cot α = cos α < 0, phù hợp.) - Cho α = 135°. Trong bốn giá trị sin α, cos α, tan α, cot α có mấy giá trị âm?
Đáp án: sin 135° = √2/2 > 0; cos 135° = −√2/2; tan 135° = −1; cot 135° = −1. Có 3 giá trị âm.
Câu hỏi thường gặp
Góc tù là góc như thế nào?
Góc tù là góc có số đo lớn hơn 90° và nhỏ hơn 180°. Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn của góc tù nằm ở góc phần tư thứ II.
Vì sao góc tù có cos âm nhưng sin dương?
Điểm M biểu diễn góc tù nằm bên trái trục tung nên hoành độ cos α âm, đồng thời nằm phía trên trục hoành nên tung độ sin α dương.
Góc tù có tan và cot cùng dấu không?
Có. tan α và cot α là hai số nghịch đảo của nhau nên luôn cùng dấu; với góc tù cả hai đều âm.
Với góc nhọn thì các giá trị lượng giác có dấu gì?
Với góc nhọn, sin, cos, tan, cot đều dương vì điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ I, có hoành độ và tung độ đều dương.