Trả lời nhanh
Hai vectơ ngược hướng thì chúng cùng phương (giá song song hoặc trùng nhau) nhưng có chiều ngược nhau. Khi đó vectơ này bằng k lần vectơ kia với k < 0, góc giữa chúng bằng 180° và tích vô hướng bằng –|a|·|b|. Hai vectơ ngược hướng chưa chắc có độ dài bằng nhau.
Hai vectơ ngược hướng là gì?
Hai vectơ khác 0 được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Khi cùng phương, chúng chỉ có hai khả năng: cùng hướng hoặc ngược hướng.
Vì vậy, “ngược hướng” là một trường hợp đặc biệt của “cùng phương”. Mọi cặp vectơ ngược hướng đều cùng phương, nhưng chiều ngược lại thì không đúng: cùng phương có thể là cùng hướng.
Các tính chất cần nhớ
Giả sử a và b là hai vectơ khác 0 và ngược hướng. Ta có:
- a = kb với k < 0, và |k| = |a| / |b|.
- Góc giữa hai vectơ bằng 180°, nên cos(a, b) = –1.
- Tích vô hướng: a·b = –|a|·|b|.
- Độ dài tổng: |a + b| = ||a| – |b||.
- Độ dài hiệu: |a – b| = |a| + |b|.
Mẹo nhớ: ngược hướng thì các độ dài “trừ nhau” khi cộng vectơ, và “cộng nhau” khi trừ vectơ. Cùng hướng thì ngược lại.
Phân biệt ngược hướng, đối nhau, bằng nhau
| Khái niệm | Điều kiện |
|---|---|
| Cùng hướng | Cùng phương và cùng chiều (k > 0) |
| Ngược hướng | Cùng phương và ngược chiều (k < 0) |
| Hai vectơ bằng nhau | Cùng hướng và cùng độ dài |
| Hai vectơ đối nhau | Ngược hướng và cùng độ dài (k = –1) |
Như vậy, hai vectơ đối nhau chắc chắn ngược hướng, nhưng hai vectơ ngược hướng thì chưa chắc đối nhau.
Nhận biết ngược hướng bằng toạ độ
Cho a = (x1; y1) và b = (x2; y2) khác 0. Hai vectơ cùng phương khi x1y2 – x2y1 = 0. Sau đó tìm k sao cho a = kb: nếu k < 0 thì ngược hướng, nếu k > 0 thì cùng hướng.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Xét a = (2; –4) và b = (–3; 6). Ta có 2·6 – (–3)·(–4) = 12 – 12 = 0 nên cùng phương. Từ 2 = k·(–3) suy ra k = –2/3 < 0. Kiểm tra: (–2/3)·(–3) = 2 và –4 = k·6 = –4, đúng. Vậy hai vectơ ngược hướng.
Ví dụ 2. M là trung điểm của đoạn BC. Hai vectơ MB và MC có giá cùng là đường thẳng BC, và chiều ngược nhau. Hơn nữa MB = MC nên chúng là hai vectơ đối nhau: MB = –MC.
Ví dụ 3. Cho a, b ngược hướng, |a| = 5 và |b| = 3. Khi đó |a + b| = 5 – 3 = 2, |a – b| = 5 + 3 = 8, và a·b = –15.
Ví dụ 4. Tìm m để a = (1; m) và b = (–2; 6) ngược hướng. Đặt a = kb: 1 = –2k nên k = –1/2 < 0. Khi đó m = 6k = –3. Với m = –3 ta có b = –2a, đúng ngược hướng.
Lỗi sai thường gặp
- Cho rằng hai vectơ ngược hướng thì phải có độ dài bằng nhau. Sai, điều đó chỉ đúng với hai vectơ đối nhau.
- Chỉ kiểm tra điều kiện cùng phương rồi kết luận ngược hướng mà quên xét dấu của k.
- Viết |a + b| = |a| + |b| cho trường hợp ngược hướng. Công thức này chỉ đúng khi cùng hướng.
- Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng, nhầm hướng của BA và BC. Hai vectơ này ngược hướng khi B nằm giữa A và C.
Bài luyện tập
- Ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A và C. Hai vectơ BA và BC có quan hệ gì về hướng?
- Cho a = (4; –6) và b = (–2; 3). Hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng?
- Cho u, v ngược hướng, |u| = 7 và |v| = 4. Tính |u + v| và u·v.
- Tìm m để u = (m; 4) và v = (3; –2) ngược hướng.
Đáp án.
- Ngược hướng, vì B nằm giữa nên hai vectơ có chung giá và chiều ngược nhau.
- b = –(1/2)a với hệ số –1/2 < 0 nên ngược hướng.
- |u + v| = 7 – 4 = 3; u·v = –7·4 = –28.
- Đặt u = kv: 4 = –2k nên k = –2 < 0, và m = 3k = –6. Vậy m = –6.
Câu hỏi thường gặp
Hai vectơ ngược hướng thì có cùng phương không?
Có. Hai vectơ ngược hướng luôn cùng phương vì giá của chúng song song hoặc trùng nhau, chỉ khác nhau về chiều.
Hai vectơ ngược hướng thì có bằng độ dài nhau không?
Không nhất thiết. Chỉ khi độ dài bằng nhau thì hai vectơ ngược hướng mới là hai vectơ đối nhau.
Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng bao nhiêu?
Bằng –|a|·|b|, vì góc giữa hai vectơ là 180° và cos 180° = –1. Giá trị này luôn âm với hai vectơ khác 0.
Làm sao nhận biết hai vectơ ngược hướng bằng toạ độ?
Kiểm tra x₁y₂ – x₂y₁ = 0 để biết cùng phương, rồi tìm k sao cho a = kb. Nếu k < 0 thì hai vectơ ngược hướng.