Công thức tính bán kính nguyên tử và bài tập có lời giải

Bán kính nguyên tử là gì?

Nguyên tử không có “bề mặt” cứng, vì đám mây electron mờ dần theo khoảng cách. Vì vậy khi nói bán kính nguyên tử, ta hiểu là giá trị quy ước: một nửa khoảng cách giữa hai hạt nhân của hai nguyên tử tiếp xúc nhau trong tinh thể (kim loại) hoặc trong phân tử (phi kim).

Khi giải bài tập, ta mô hình hoá nguyên tử là quả cầu cứng, các quả cầu xếp sát nhau trong mạng tinh thể. Từ đó mới có công thức liên hệ giữa bán kính, thể tích và khối lượng riêng.

Đơn vị thường gặp: 1 Å = 10^-10 m = 10^-8 cm = 0,1 nm = 100 pm. Bán kính nguyên tử cỡ 0,5 – 2,5 Å, tức vài chục đến vài trăm pm.

Công thức tính bán kính nguyên tử từ khối lượng riêng

Đây là dạng bài hay gặp nhất: cho kim loại X có nguyên tử khối M, khối lượng riêng D, kiểu mạng cho trước (nên biết độ đặc khít P). Tìm r.

1. Thể tích của 1 mol tinh thể: V_mol = M / D (cm³).
2. Phần thể tích thật sự do các nguyên tử chiếm (còn lại là khe rỗng): V_thật = V_mol · P.
3. Thể tích một nguyên tử: V₁ = V_thật / N_A.
4. Thể tích hình cầu: V₁ = (4/3)·π·r³, suy ra r = ∛(3V₁ / 4π).

Gộp lại:

r = ∛[ 3·M·P / (4π·D·N_A) ] (r tính bằng cm nếu D tính bằng g/cm³; đổi sang Å bằng cách nhân 10⁸).

Độ đặc khít của các kiểu mạng tinh thể

Độ đặc khít là tỉ lệ thể tích ô mạng do các quả cầu chiếm. Đây là số liệu bạn cần thuộc, vì đề thường chỉ cho tên kiểu mạng.

Kiểu mạng	Số nguyên tử / ô cơ sở	Liên hệ a và r	Độ đặc khít P
Lập phương đơn giản	1	a = 2r	≈ 52%
Lập phương tâm khối	2	a√3 = 4r	≈ 68%
Lập phương tâm diện	4	a√2 = 4r	≈ 74%
Lục phương chặt khít	6 (ô lục lăng)	a = 2r	≈ 74%
Kim cương	8	a√3 = 8r	≈ 34%

Mẹo nhớ: mạng càng “chặt” thì P càng lớn; hai kiểu chặt khít nhất (tâm diện, lục phương) cùng cho 74%. Tâm khối kém hơn một chút (68%), còn đơn giản chỉ hơn một nửa.

Tính bán kính từ cạnh ô mạng a

Nếu đề cho cạnh a của ô cơ sở lập phương, ta tìm chỗ các nguyên tử tiếp xúc nhau rồi viết quan hệ độ dài.

• Lập phương đơn giản: các nguyên tử tiếp xúc dọc cạnh, nên a = 2r, r = a/2.
• Lập phương tâm khối: tiếp xúc dọc đường chéo khối (độ dài a√3), trên đó có 3 nguyên tử nối nhau: hai ở đỉnh, một ở tâm, tổng 4r. Vậy r = a√3/4.
• Lập phương tâm diện: tiếp xúc dọc đường chéo mặt (độ dài a√2), có 3 nguyên tử: hai ở đỉnh, một ở tâm mặt, tổng 4r. Vậy r = a√2/4.

Lỗi hay gặp: nhầm đường chéo khối với đường chéo mặt, dẫn tới dùng a√3 cho mạng tâm diện. Hãy tự hỏi “nguyên tử tiếp xúc nhau ở đâu?” trước khi viết công thức.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: biết cạnh ô mạng, mạng tâm diện

Đồng kết tinh theo mạng lập phương tâm diện, cạnh ô mạng a = 3,61 Å. Tính bán kính nguyên tử Cu.

Giải: r = a√2/4 = 3,61 × 1,4142 / 4 ≈ 1,28 Å (khoảng 128 pm).

Ví dụ 2: biết cạnh ô mạng, mạng tâm khối

Sắt (α-Fe) có mạng lập phương tâm khối, a = 2,87 Å. Tính r.

Giải: r = a√3/4 = 2,87 × 1,732 / 4 ≈ 1,24 Å.

Ví dụ 3: biết khối lượng riêng

Sắt có M = 55,85 g/mol, D = 7,87 g/cm³, mạng tâm khối (P = 68%). Tính bán kính nguyên tử.

Giải:

• V_mol = 55,85 / 7,87 ≈ 7,096 cm³.
• V_thật = 7,096 × 0,68 ≈ 4,826 cm³.
• V₁ = 4,826 / 6,022.10²³ ≈ 8,01.10^-24 cm³.
• r³ = 3V₁/(4π) ≈ 1,913.10^-24 cm³, suy ra r ≈ 1,24.10^-8 cm = 1,24 Å.

Kết quả khớp với cách tính từ cạnh ô mạng ở ví dụ 2, một cách kiểm tra chéo rất hữu ích khi làm bài.

Ví dụ 4: dạng đề cho khối lượng riêng, mạng tâm diện

Đồng có M = 63,55; D = 8,96 g/cm³; P = 74%. Tính r.

Giải: V_mol = 63,55/8,96 ≈ 7,092 cm³; V_thật ≈ 5,249 cm³; V₁ ≈ 8,72.10^-24 cm³; r³ ≈ 2,08.10^-24 cm³, nên r ≈ 1,28.10^-8 cm = 1,28 Å, trùng với ví dụ 1.

Ngược lại: tính khối lượng riêng từ bán kính

Có thể đảo chiều bằng ô cơ sở. Gọi n là số nguyên tử trong một ô, a là cạnh ô (cm):

D = n·M / (N_A·a³)

Với mạng tâm diện n = 4, tâm khối n = 2, đơn giản n = 1. Thay a theo r (a = 4r/√2 hoặc a = 4r/√3 …) là xong. Cách này cũng là con đường kiểm tra độ đặc khít: P = n·(4/3)πr³ / a³.

Quy luật biến đổi bán kính nguyên tử trong bảng tuần hoàn

Phần lý thuyết này hay xuất hiện trong câu trắc nghiệm so sánh bán kính.

• Trong một chu kì, đi từ trái sang phải, bán kính nguyên tử giảm. Lí do: số lớp electron không đổi nhưng điện tích hạt nhân tăng, lực hút lên các electron lớp ngoài mạnh hơn nên nguyên tử “co” lại.
• Trong một nhóm A, đi từ trên xuống, bán kính nguyên tử tăng. Lí do: số lớp electron tăng, tác động này lấn át việc tăng điện tích hạt nhân.

Ví dụ giá trị gần đúng (tuỳ nguồn tra cứu có thể lệch đôi chút): Li ≈ 152 pm, Na ≈ 186 pm, K ≈ 227 pm. Ở chu kì 3, bán kính giảm dần từ Na qua Mg, Al, Si, P, S đến Cl.

Lưu ý ion: cation nhỏ hơn nguyên tử tương ứng (mất lớp ngoài cùng hoặc lực hút tăng); anion lớn hơn nguyên tử (thêm electron, lực đẩy tăng). Với các ion cùng cấu hình electron (như O^2-, F^–, Na⁺, Mg²⁺, Al³⁺), điện tích hạt nhân càng lớn thì bán kính càng nhỏ: O^2- > F^– > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺.

Lỗi sai thường gặp

• Quên nhân độ đặc khít P, coi cả thể tích mol là thể tích nguyên tử, khiến r bị lớn quá.
• Lấy nhầm đơn vị: D theo g/cm³ thì r ra cm, đừng trộn với m hay nm.
• Quên lấy căn bậc ba ở bước cuối (r³ chứ không phải r).
• Dùng sai hệ số P cho mạng tinh thể, nhất là nhầm 68% với 74%.
• So sánh bán kính chỉ theo số hiệu nguyên tử mà không xét vị trí chu kì, nhóm.

Bài luyện tập tự giải

1. Natri có mạng lập phương tâm khối, a = 4,29 Å. Tính bán kính nguyên tử Na.
   Đáp án: r = 4,29 × 1,732 / 4 ≈ 1,86 Å.
2. Vàng có mạng lập phương tâm diện, a = 4,08 Å. Tính r.
   Đáp án: r = 4,08 × 1,4142 / 4 ≈ 1,44 Å.
3. Nhôm có M = 26,98; D = 2,70 g/cm³, mạng tâm diện (P = 74%). Tính bán kính nguyên tử Al.
   Đáp án: V_mol ≈ 9,99 cm³; V_thật ≈ 7,40 cm³; V₁ ≈ 1,23.10^-23 cm³; r³ ≈ 2,93.10^-24; r ≈ 1,43 Å.
4. Sắp xếp theo chiều bán kính tăng dần: Mg²⁺, O^2-, Na⁺, F^–.
   Đáp án: Mg²⁺ < Na⁺ < F^– < O^2- (cùng cấu hình 1s²2s²2p⁶, điện tích hạt nhân càng lớn bán kính càng nhỏ).

Tóm tắt cần nhớ

• Bán kính từ khối lượng riêng: r = ∛[3MP/(4πD·N_A)].
• Bán kính từ cạnh ô: a/2 (đơn giản), a√3/4 (tâm khối), a√2/4 (tâm diện).
• Độ đặc khít: 52% – 68% – 74% (74% cho cả lục phương).
• Chu kì: giảm dần từ trái sang phải; nhóm: tăng dần từ trên xuống.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính bán kính nguyên tử từ khối lượng riêng là gì?

r = ∛[3·M·P / (4π·D·N_A)], trong đó M là nguyên tử khối, P là độ đặc khít của mạng tinh thể, D là khối lượng riêng (g/cm3) và N_A = 6,022.10^23. Kết quả r tính bằng cm, nhân 10^8 để đổi sang Å.

Bán kính nguyên tử lập phương tâm diện tính thế nào?

Trong mạng lập phương tâm diện, các nguyên tử tiếp xúc nhau dọc đường chéo mặt có độ dài a√2 và bằng 4r. Vì vậy r = a√2/4, độ đặc khít là khoảng 74%.

Bán kính nguyên tử biến đổi thế nào trong bảng tuần hoàn?

Trong một chu kì, bán kính giảm từ trái sang phải vì điện tích hạt nhân tăng mà số lớp electron không đổi. Trong một nhóm A, bán kính tăng từ trên xuống vì số lớp electron tăng.

1 Å bằng bao nhiêu nm và pm?

1 Å = 10^-10 m = 0,1 nm = 100 pm = 10^-8 cm. Bán kính nguyên tử thường cỡ vài chục đến vài trăm pm.

Bài học liên quan

• Công thức Lewis HNO3: cách viết và H liên kết với nguyên tử nào?
• Công thức Lewis của BF3 (công thức electron): cách viết và giải thích
• Công thức electron của HNO3 (axit nitric): cách viết, Lewis, cấu tạo
• Viết công thức VSEPR của CCl4, H2S, CO2, SO3 và PH3
• Giải SGK Hóa học 10 cả 3 bộ sách: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều
• Viết công thức Lewis của SO3 và các phân tử tương tự: hướng dẫn từng bước