Trả lời nhanh
Tần số dao động điều hòa của con lắc đơn có chiều dài dây l, tại nơi có gia tốc trọng trường g là f = (1/2π)·√(g/l). Tần số không phụ thuộc khối lượng m của vật nặng, vì khi tính lực kéo về, m ở hai vế triệt tiêu nhau. Công thức chỉ đúng khi góc lệch nhỏ (khoảng 10° trở xuống).
Công thức tần số, chu kì và tần số góc của con lắc đơn
Con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, chiều dài l. Ba đại lượng đặc trưng của dao động nhỏ liên hệ với nhau như sau:
| Đại lượng | Kí hiệu | Công thức | Đơn vị |
|---|---|---|---|
| Tần số góc | ω | ω = √(g/l) | rad/s |
| Chu kì | T | T = 2π·√(l/g) | s |
| Tần số | f | f = 1/T = (1/2π)·√(g/l) | Hz |
Mẹo nhớ: tần số f là nghịch đảo của chu kì T, nên căn thức của f là “g trên l”, còn căn thức của T là “l trên g”. Hai biểu thức này lật ngược nhau.
Vì sao công thức không có khối lượng m?
Tại vị trí dây lệch góc α so với phương thẳng đứng, thành phần trọng lực kéo vật về vị trí cân bằng có độ lớn mg·sin α. Khi α nhỏ (tính bằng rad) thì sin α ≈ α = s/l, với s là li độ cung.
Phương trình chuyển động: m·s” = −mg·(s/l). Chia hai vế cho m ta được s” = −(g/l)·s. Đây là phương trình dao động điều hòa với ω² = g/l.
Lực kéo về và quán tính đều tỉ lệ với m nên m bị triệt tiêu. Đó là lý do hai con lắc đơn cùng chiều dài, khác khối lượng, đặt cùng một nơi vẫn có cùng chu kì và tần số.
Điều kiện áp dụng
- Góc lệch cực đại nhỏ, thường lấy α₀ ≤ 10° (khoảng 0,17 rad).
- Dây treo nhẹ, không dãn; vật nặng coi như chất điểm.
- Bỏ qua ma sát và lực cản của không khí.
- Gia tốc trọng trường g coi như không đổi trong suốt quá trình dao động.
Nếu biên độ lớn hơn, chu kì thực tế sẽ lớn hơn giá trị tính bằng công thức và dao động không còn điều hòa.
Cách nhận ra đáp án đúng khi gặp câu trắc nghiệm
Đề thường đưa ra các công thức dễ nhầm. Em dùng các bước sau để loại trừ nhanh:
- Có m trong công thức → loại ngay. Con lắc đơn không phụ thuộc m. Công thức (1/2π)√(k/m) là của con lắc lò xo.
- Dạng 2π√(l/g) → đây là chu kì T, không phải tần số.
- Dạng √(g/l) không có 1/2π → đây là tần số góc ω (rad/s).
- Dạng (1/2π)√(l/g) → sai vị trí l và g. Kiểm tra bằng suy luận: dây càng dài thì con lắc càng đung đưa chậm, tức f phải giảm khi l tăng. Dạng này lại cho f tăng khi l tăng nên sai.
Chỉ còn f = (1/2π)·√(g/l) thỏa mãn mọi kiểm tra.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1 (tự đặt). Con lắc đơn dài 1,0 m dao động nhỏ tại nơi g = 9,8 m/s². Tính ω, f và T.
- ω = √(9,8/1,0) ≈ 3,13 rad/s.
- f = ω/2π ≈ 3,13/6,28 ≈ 0,50 Hz.
- T = 1/f ≈ 2,0 s.
Ví dụ 2 (tự đặt). Con lắc đơn dài 0,25 m, g = 9,8 m/s². Tính f.
f = (1/2π)·√(9,8/0,25) = (1/2π)·√39,2 ≈ 6,26/6,28 ≈ 1,0 Hz. So với ví dụ 1, dây ngắn đi 4 lần thì f tăng 2 lần, khớp với f tỉ lệ 1/√l.
Tần số thay đổi thế nào khi l hoặc g thay đổi?
- f tỉ lệ thuận với √g: mang con lắc lên cao hoặc lên Mặt Trăng (g nhỏ hơn) thì f giảm.
- f tỉ lệ nghịch với √l: tăng chiều dài thì f giảm.
- Khi cả l và g cùng đổi: f₂/f₁ = √(g₂/g₁) · √(l₁/l₂).
Trong thang máy hoặc xe chuyển động có gia tốc, g được thay bằng g hiệu dụng (gia tốc trọng trường biểu kiến), khi đó tần số cũng đổi theo.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm tần số f với tần số góc ω, quên chia cho 2π.
- Đổi sai đơn vị: l phải đổi sang mét (m) trước khi thay vào công thức.
- Cho rằng vật nặng hơn thì dao động chậm hơn.
- Dùng công thức khi biên độ góc lớn (như 60°).
Bài luyện tập
- Con lắc đơn dài 0,64 m dao động nhỏ tại nơi có g = π² m/s². Tính chu kì và tần số.
Đáp án: T = 2π√(0,64/π²) = 2·0,8 = 1,6 s; f = 1/1,6 = 0,625 Hz. - Tại nơi g = π² m/s², cần con lắc đơn có tần số 0,5 Hz. Tính chiều dài dây.
Đáp án: T = 2 s; l = gT²/(4π²) = π²·4/(4π²) = 1 m. - Tăng chiều dài con lắc đơn thêm 44% thì tần số thay đổi thế nào?
Đáp án: l₂ = 1,44·l₁ nên T₂ = 1,2·T₁; do đó f₂ = f₁/1,2 ≈ 0,833·f₁, tức tần số giảm khoảng 16,7%.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính tần số dao động của con lắc đơn là gì?
f = (1/2π)·√(g/l), trong đó g là gia tốc trọng trường (m/s²), l là chiều dài dây treo (m), f tính bằng Hz. Công thức đúng với dao động nhỏ, bỏ qua ma sát.
Tần số con lắc đơn có phụ thuộc khối lượng vật nặng không?
Không. Khối lượng m xuất hiện ở cả lực kéo về lẫn quán tính nên triệt tiêu khi lập phương trình chuyển động, chỉ còn g và l quyết định tần số.
Khác nhau giữa tần số con lắc đơn và con lắc lò xo ra sao?
Con lắc lò xo có f = (1/2π)·√(k/m), phụ thuộc độ cứng k và khối lượng m. Con lắc đơn có f = (1/2π)·√(g/l), phụ thuộc g và l, không phụ thuộc m.
Tại sao phải có điều kiện góc lệch nhỏ?
Vì phép gần đúng sin α ≈ α chỉ chính xác khi α nhỏ (tính bằng rad). Khi góc lớn, lực kéo về không tỉ lệ với li độ nên dao động không điều hòa và công thức không còn đúng.