Trả lời nhanh
Từ công thức tính lực cản F = kv², ta có k = F/v². Lực có đơn vị N = kg·m/s², vận tốc bình phương có đơn vị m²/s². Vậy đơn vị của k là (kg·m/s²) : (m²/s²) = kg/m (viết cách khác là kg·m−1). Nghĩa là k cho biết vật chịu lực cản mạnh hay yếu trên mỗi đơn vị bình phương tốc độ.
Đề bài
Lực cản của không khí tác dụng lên một vật phụ thuộc vào vận tốc chuyển động của vật theo công thức F = kv². Hãy xác định đơn vị của hệ số k theo các đơn vị cơ bản của hệ SI.
Đây là dạng bài phân tích đơn vị (thứ nguyên) hay gặp ở chương mở đầu Vật lí 10, khi học về đơn vị và hệ SI. Nó cũng xuất hiện lại khi học về lực cản và chuyển động rơi.
Lời giải chi tiết
- Biến đổi công thức để k đứng riêng: F = kv² ⇒ k = F / v².
- Đổi đơn vị của lực ra đơn vị cơ bản: theo định luật II Newton F = ma, nên 1 N = 1 kg · 1 m/s² = 1 kg·m/s².
- Đơn vị của v²: vận tốc có đơn vị m/s, nên v² có đơn vị (m/s)² = m²/s².
- Chia hai đơn vị:
[k] = (kg·m/s²) : (m²/s²) = (kg·m/s²) · (s²/m²) = kg/m.
Kết luận: đơn vị của k là kg/m (hay kg·m−1). Lưu ý s² ở tử và mẫu triệt tiêu nhau, còn m chỉ còn lại một lần ở mẫu.
Vì sao phải đổi N ra kg·m/s²?
Hệ SI có 7 đơn vị cơ bản: mét (m), kilôgam (kg), giây (s), ampe (A), kelvin (K), mol (mol) và candela (cd). Niutơn không phải đơn vị cơ bản mà là đơn vị dẫn xuất. Đề yêu cầu “theo đơn vị cơ bản”, nên nếu chỉ ghi N·s²/m² thì đúng về giá trị nhưng chưa đạt yêu cầu.
Ta cũng có thể làm bằng thứ nguyên: [F] = M·L·T−2, [v²] = L²·T−2 nên [k] = M·L−1, tức là kg/m.
Ý nghĩa vật lí của hệ số k
Ở tốc độ đủ lớn (ô tô chạy nhanh, người nhảy dù, hạt mưa rơi), lực cản không khí gần đúng tỉ lệ với bình phương tốc độ. Công thức tính lực cản đầy đủ thường được viết:
F = ½ · C · ρ · S · v²
- ρ: khối lượng riêng của không khí (kg/m³), khoảng 1,2 kg/m³ ở điều kiện thường;
- S: diện tích tiết diện của vật vuông góc với hướng chuyển động (m²);
- C: hệ số cản, không có đơn vị, phụ thuộc hình dạng vật (vật thuôn dài thì C nhỏ);
- v: tốc độ của vật so với không khí (m/s).
So với F = kv², ta có k = ½ · C · ρ · S. Kiểm tra lại: (kg/m³) · m² = kg/m. Kết quả trùng với phần trên, đây là cách tự kiểm tra rất tốt. Nhờ vậy ta hiểu vì sao người nhảy dù mở dù thì giảm tốc: S tăng mạnh nên k tăng, lực cản lớn hơn hẳn ở cùng tốc độ.
Đồ thị lực cản theo vận tốc
Vì F tỉ lệ với v² nên đồ thị F theo v là một nhánh parabol. Tăng tốc độ lên 2 lần thì lực cản tăng 4 lần, tăng 3 lần thì lực cản tăng 9 lần.
Ứng dụng: vận tốc giới hạn khi vật rơi
Một vật rơi trong không khí chịu trọng lực P = mg hướng xuống và lực cản F = kv² hướng lên. Lúc đầu v nhỏ nên lực cản nhỏ, vật tăng tốc. Khi v tăng, lực cản tăng dần đến lúc bằng trọng lực thì hợp lực bằng 0 và vật rơi đều. Tốc độ lúc đó gọi là vận tốc giới hạn (tốc độ tới hạn):
mg = kvgh² ⇒ vgh = √(mg / k)
Kiểm tra đơn vị: (kg · m/s²) : (kg/m) = m²/s², lấy căn được m/s. Đơn vị đúng.
Ví dụ tự đặt: một quả cầu nhẹ khối lượng 0,05 kg có k = 0,0049 kg/m, lấy g = 9,8 m/s². Ta có vgh = √(0,05 · 9,8 / 0,0049) = √100 = 10 m/s.
Lỗi sai thường gặp
- Ghi đơn vị k là N vì nghĩ “k là hệ số của lực”. Sai, vì k còn phải “bù” đơn vị của v².
- Quên bình phương đơn vị vận tốc, chia cho m/s thay vì m²/s², ra kg/s. Đó là đơn vị hệ số b trong lực cản dạng tuyến tính F = bv, không phải của k.
- Dừng ở N·s²/m²: đúng nhưng chưa phải đơn vị cơ bản theo yêu cầu.
- Nhầm “kg/m” với “kg·m” khi triệt tiêu: nhớ rằng m ở tử chỉ có mũ 1, ở mẫu có mũ 2, nên còn lại m ở mẫu.
Mẹo nhớ nhanh
Muốn tìm đơn vị của một hệ số, cứ “chuyển hệ số sang một vế, thay đơn vị, rồi rút gọn như phân số”. Luôn đổi các đơn vị dẫn xuất (N, J, W, Pa…) về kg, m, s trước khi rút gọn:
| Đơn vị dẫn xuất | Theo đơn vị cơ bản |
|---|---|
| N (niutơn) | kg·m/s² |
| J (jun) | kg·m²/s² |
| W (oát) | kg·m²/s³ |
| Pa (paxcan) | kg/(m·s²) |
Bài tập luyện tập (có đáp án)
Bài 1. Ở tốc độ nhỏ, lực cản của chất lưu có thể viết F = bv. Tìm đơn vị của b theo đơn vị cơ bản SI.
Đáp án: b = F/v = (kg·m/s²) : (m/s) = kg/s.
Bài 2. Một ô tô chịu lực cản không khí 400 N khi chạy với tốc độ 20 m/s. Coi F = kv². Tính k và lực cản khi xe chạy 30 m/s.
Đáp án: k = 400 / 20² = 400/400 = 1 kg/m. Ở 30 m/s: F = 1 · 30² = 900 N. (Tốc độ tăng 1,5 lần thì lực cản tăng 1,5² = 2,25 lần, đúng 400 · 2,25 = 900 N.)
Bài 3. Một vận động viên nhảy dù cùng trang bị có khối lượng 80 kg, lúc chưa mở dù có k = 0,25 kg/m. Lấy g = 10 m/s². Tính vận tốc giới hạn.
Đáp án: vgh = √(80 · 10 / 0,25) = √3200 ≈ 56,6 m/s (khoảng 204 km/h). Khi mở dù, k tăng lên nhiều lần nên vgh giảm còn vài m/s, đủ an toàn để tiếp đất.
Bài 4. Công thức Stokes cho lực cản lên viên bi nhỏ chuyển động chậm trong chất lỏng: F = 6πηrv (r là bán kính, đơn vị m). Tìm đơn vị của độ nhớt η.
Đáp án: η = F/(6πrv). Đơn vị: (kg·m/s²) : (m · m/s) = kg/(m·s), chính là Pa·s. Hệ số 6π không có đơn vị.
Tóm tắt
- Công thức tính lực cản ở tốc độ lớn: F = kv², với k = ½CρS.
- Đơn vị của k theo đơn vị cơ bản SI: kg/m.
- Lực cản tăng theo bình phương tốc độ, là nguyên nhân dẫn tới vận tốc giới hạn vgh = √(mg/k).
Câu hỏi thường gặp
Đơn vị của k trong công thức F = kv² là gì?
Vì k = F/v², ta có (kg·m/s²) : (m²/s²) = kg/m. Đây là đơn vị viết theo các đơn vị cơ bản của hệ SI.
Có thể ghi đơn vị của k là N·s²/m² không?
Về giá trị thì N·s²/m² bằng kg/m. Nhưng nếu đề yêu cầu viết theo đơn vị cơ bản SI thì phải đổi N = kg·m/s² rồi rút gọn thành kg/m.
Hệ số k phụ thuộc vào những yếu tố nào?
Ta có k = ½CρS, nên k phụ thuộc vào hình dạng vật (hệ số cản C), khối lượng riêng của không khí ρ và diện tích tiết diện S vuông góc với hướng chuyển động.
Vì sao vật rơi trong không khí lại đạt vận tốc giới hạn?
Lực cản tăng theo v². Khi lực cản tăng đến bằng trọng lực thì hợp lực bằng 0 và vật rơi đều với v = √(mg/k).