Trả lời nhanh
Năng lượng của vật dao động điều hòa gồm thế năng Wt = ½mω²x² và động năng Wđ = ½mv². Hai đại lượng này biến thiên tuần hoàn với tần số góc 2ω (chu kì T/2) và chuyển hóa qua lại. Tổng của chúng là cơ năng W = ½mω²A² = ½kA², luôn không đổi nếu bỏ qua ma sát.
1. Thế năng trong dao động điều hòa
Với con lắc lò xo nằm ngang, gốc thế năng đặt tại vị trí cân bằng (VTCB). Khi vật có li độ x = Acos(ωt + φ0), thế năng đàn hồi là:
Wt = ½kx² = ½mω²A²cos²(ωt + φ0)
- Ở đây k = mω² nên hai cách viết trên là một.
- Thế năng cực đại: Wt max = ½mω²A², đạt khi vật ở biên (x = ±A).
- Thế năng bằng 0 khi vật qua VTCB (x = 0).
- Thế năng biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc ω′ = 2ω, nghĩa là chu kì T′ = T/2 và tần số f′ = 2f.
Vì sao tần số gấp đôi? Vì cos² luôn không âm. Ta có cos²α = ½(1 + cos2α), nên trong một chu kì của li độ, thế năng đạt cực đại hai lần (ở biên âm và biên dương).
2. Động năng trong dao động điều hòa
Vận tốc của vật là v = −ωAsin(ωt + φ0). Thay vào công thức động năng:
Wđ = ½mv² = ½mω²A²sin²(ωt + φ0)
- Động năng cực đại: Wđ max = ½mω²A² = ½mvmax², đạt khi vật qua VTCB.
- Động năng bằng 0 ở hai biên, nơi vật dừng lại tức thời.
- Động năng cũng biến thiên tuần hoàn với tần số góc 2ω, chu kì T/2.
Mẹo nhớ: nếu li độ viết theo cos thì thế năng đi với cos², động năng đi với sin². Cứ “x cos → Wt cos²” là không nhầm.
3. Cơ năng và định luật bảo toàn cơ năng
Cộng hai biểu thức, dùng sin² + cos² = 1:
W = Wt + Wđ = ½mω²A² = ½kA² = hằng số
- Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ: biên độ tăng gấp đôi thì cơ năng tăng gấp bốn.
- Cơ năng không phụ thuộc thời gian. Nó chỉ phụ thuộc vào k (hoặc m, ω) và A.
- Cơ năng bằng thế năng cực đại và cũng bằng động năng cực đại.
Điều kiện để cơ năng bảo toàn là không có lực cản hay ma sát. Khi có ma sát (Bài tắt dần), cơ năng giảm dần. Bạn xem tiếp ở bài sau hoặc đọc lý thuyết dao động tắt dần bên dưới phần liên kết.
4. Sự chuyển hóa năng lượng khi vật dao động
- Từ biên về VTCB: |x| giảm nên thế năng giảm, |v| tăng nên động năng tăng. Thế năng chuyển thành động năng.
- Từ VTCB ra biên: |x| tăng nên thế năng tăng, |v| giảm nên động năng giảm. Động năng chuyển thành thế năng.
- Tổng hai loại năng lượng luôn bằng W.
Bảng dưới đây gom các vị trí đặc biệt, rất hay dùng khi làm bài:
| Li độ x | Thế năng Wt | Động năng Wđ |
|---|---|---|
| ±A | W | 0 |
| ±A√3/2 | 3W/4 | W/4 |
| ±A√2/2 | W/2 | W/2 |
| ±A/2 | W/4 | 3W/4 |
| 0 | 0 | W |
Quy luật nằm ngay trong công thức: Wt = W·(x/A)². Muốn biết Wt bằng bao nhiêu phần cơ năng, chỉ cần bình phương tỉ số x/A.
5. Đồ thị năng lượng theo li độ
Đồ thị của Wt theo x là một parabol quay bề lõm lên, còn Wđ theo x là parabol quay bề lõm xuống. Cơ năng là đường nằm ngang.
Hai parabol cắt nhau tại hai điểm có |x| = A√2/2. Tại đó Wđ = Wt = W/2. Nếu vẽ theo thời gian thay vì theo li độ, hai đường cong này là các đường dạng sin có chu kì T/2, nằm trên và dưới mức W/2.
6. Các công thức và kết luận cần nhớ
- Wt = ½mω²x² = ½kx²
- Wđ = W − Wt = ½k(A² − x²) = ½mv²
- Tốc độ theo li độ: v = ω√(A² − x²); vmax = ωA
- Khi Wđ = nWt: x = ±A/√(n + 1)
- Chu kì biến thiên của động năng và thế năng: T/2; tần số 2f
- Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp Wđ = Wt: T/4
- Từ biên đến vị trí Wđ = Wt (x = A√2/2): thời gian T/8
Chứng minh nhanh công thức thứ tư: Wđ = nWt thì W = (n + 1)Wt, nên ½kA² = (n + 1)·½kx², suy ra x² = A²/(n + 1).
7. Lỗi sai thường gặp
- Nhầm chu kì: chu kì của động năng và thế năng là T/2, không phải T. Còn cơ năng thì không biến thiên.
- Quên đổi đơn vị: A tính bằng cm phải đổi sang m trước khi thay vào W = ½kA² để ra jun.
- Nhầm “tỉ lệ” Wt = nWđ với Wđ = nWt: hãy luôn viết lại W = Wt + Wđ rồi biểu diễn theo một đại lượng.
- Cho rằng động năng bằng thế năng ở nửa biên độ: sai. Khi x = A/2 thì Wt = W/4; hai năng lượng chỉ bằng nhau tại x = ±A√2/2.
- Đếm lần sai khi tính thời gian: giữa hai lần liên tiếp Wđ = Wt là T/4, nên giữa năm lần liên tiếp là 4·T/4 = T.
8. Ví dụ minh họa có lời giải
Ví dụ 1. Con lắc lò xo có k = 100 N/m, biên độ A = 6 cm. Tính cơ năng và động năng khi vật ở li độ x = 3 cm.
Giải: W = ½kA² = ½·100·(0,06)² = 0,18 J. Thế năng tại x = 3 cm: Wt = ½·100·(0,03)² = 0,045 J (đúng bằng W/4 vì x = A/2). Động năng: Wđ = 0,18 − 0,045 = 0,135 J.
Ví dụ 2. Vật m = 0,1 kg dao động điều hòa với ω = 10 rad/s, biên độ 4 cm. Tìm cơ năng và tốc độ của vật khi Wđ = 3Wt.
Giải: W = ½mω²A² = ½·0,1·100·(0,04)² = 0,008 J. Với n = 3: x = ±A/√4 = ±2 cm. Tốc độ v = ω√(A² − x²) = 10·√(16 − 4) cm/s = 10·√12 ≈ 34,6 cm/s. Kiểm tra: ½·0,1·(0,346)² ≈ 0,006 J = ¾W ✓.
Ví dụ 3. Vật dao động điều hòa với chu kì 0,8 s. Hỏi chu kì biến thiên của động năng và khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng.
Giải: Chu kì biến thiên của động năng là T/2 = 0,4 s. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là T/4 = 0,2 s.
9. Bài tập tự luyện
- Con lắc lò xo m = 0,2 kg, k = 50 N/m, biên độ 8 cm. Tính cơ năng và tốc độ cực đại.
- Vật dao động điều hòa biên độ A. Tại vị trí nào thế năng bằng ba lần động năng?
- Vật dao động với chu kì 1,2 s, bắt đầu từ biên dương. Sau bao lâu thì lần đầu tiên động năng bằng thế năng?
Đáp án:
- W = ½·50·(0,08)² = 0,16 J. Từ W = ½mvmax² ta có vmax = √(2·0,16/0,2) = √1,6 ≈ 1,26 m/s.
- Wt = 3Wđ nên Wt = ¾W, suy ra x² = ¾A², tức x = ±A√3/2.
- Động năng bằng thế năng tại x = A√2/2, từ biên dương đến đó mất T/8 = 1,2/8 = 0,15 s.
10. Tài liệu học tiếp
- Giải SGK Vật lí 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo)
- Giải SBT Vật lí 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo)
- 20 câu trắc nghiệm Năng lượng trong dao động điều hòa
- Lý thuyết Bài 2: Phương trình dao động điều hòa
- Lý thuyết Bài 4: Dao động tắt dần và hiện tượng cộng hưởng
- Lý thuyết Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi thường gặp
Cơ năng của vật dao động điều hòa tính bằng công thức nào?
W = ½mω²A² = ½kA². Cơ năng bằng tổng thế năng và động năng, không đổi theo thời gian khi không có ma sát, và tỉ lệ với bình phương biên độ.
Động năng và thế năng biến thiên với chu kì bao nhiêu?
Nếu li độ có chu kì T thì động năng và thế năng biến thiên với chu kì T/2, tức tần số góc 2ω và tần số 2f. Cơ năng thì không biến thiên.
Khi nào động năng bằng thế năng trong dao động điều hòa?
Khi li độ x = ±A√2/2. Lúc đó mỗi loại bằng W/2. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điều này xảy ra là T/4.
Khi động năng bằng n lần thế năng thì li độ bằng bao nhiêu?
Từ W = (n + 1)W_t suy ra x = ±A/√(n + 1). Ví dụ n = 3 thì x = ±A/2, n = 1 thì x = ±A√2/2.