Dao động điều hòa x = 5cos(10πt − π/2) cm: tính thời gian để vật đi được quãng đường 25 cm kể từ t = 0

Đề bài

Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(10πt − π/2) cm (t tính bằng giây). Tính thời gian để vật đi được quãng đường 25 cm kể từ thời điểm t = 0.

Lưu ý: một số đề viết pha ban đầu là +π/2 thay vì −π/2. Khi đó vật vẫn xuất phát từ vị trí cân bằng (chỉ khác chiều chuyển động), nên đáp số không đổi: t = 0,25 s.

Lời giải chi tiết

Bước 1. Đọc các đại lượng từ phương trình

So sánh với dạng tổng quát x = Acos(ωt + φ):

• Biên độ A = 5 cm.
• Tần số góc ω = 10π rad/s, suy ra chu kì T = 2π/ω = 2π/(10π) = 0,2 s.
• Pha ban đầu φ = −π/2 rad.

Bước 2. Xác định trạng thái của vật lúc t = 0

Thay t = 0 vào phương trình li độ: x₀ = 5cos(−π/2) = 0. Vận tốc v = −Aωsin(ωt + φ), nên v₀ = −5·10π·sin(−π/2) = 50π cm/s > 0. Vậy lúc bắt đầu, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Bước 3. Tách quãng đường theo những “mốc” đã biết

Ta có 4A = 20 cm, nên 25 cm = 20 cm + 5 cm = 4A + A.

• Trong một chu kì, dù xuất phát ở đâu, vật luôn đi được 4A = 20 cm. Phần này mất T = 0,2 s và sau đó vật quay lại đúng trạng thái ban đầu: ở vị trí cân bằng, đi theo chiều dương.
• Phần còn lại là A = 5 cm: từ vị trí cân bằng đi theo chiều dương ra biên dương x = 5 cm. Đoạn này mất một phần tư chu kì, tức T/4 = 0,05 s.

Bước 4. Cộng thời gian

t = T + T/4 = 0,2 + 0,05 = 0,25 s.

Kiểm tra lại: sau 0,25 s, pha dao động là 10π·0,25 − π/2 = 2π, nên x = 5cos(2π) = 5 cm, đúng là vật đang ở biên dương. Quãng đường: 20 cm (một chu kì) + 5 cm (từ 0 đến 5) = 25 cm, khớp với đề bài.

Giải bằng vòng tròn lượng giác

Dao động điều hòa là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính A lên trục Ox. Điểm M quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc ω, nên trong thời gian t nó quét được góc Δφ = ωt.

• Lúc t = 0, M ở vị trí ứng với góc −π/2 (điểm thấp nhất của đường tròn), hình chiếu của nó rơi đúng vào gốc O.
• Mỗi vòng quay trọn vẹn (góc 2π) ứng với một chu kì, hình chiếu đi được 4A = 20 cm.
• Quay thêm góc π/2, M đi từ điểm thấp nhất tới điểm ngoài cùng bên phải, hình chiếu chạy từ O tới x = 5 cm, thêm 5 cm.

Tổng góc quét là 2π + π/2 = 5π/2, do đó t = Δφ/ω = (5π/2)/(10π) = 0,25 s. Cách này đặc biệt tiện khi phần quãng đường lẻ không bắt đầu từ vị trí cân bằng hay vị trí biên.

Phương pháp chung cho bài toán “thời gian đi hết quãng đường S”

1. Tìm A, ω, T và trạng thái ban đầu (x₀ và dấu của v₀).
2. Viết S = n·4A + S′ (hoặc S = n·2A + S′ nếu thuận tiện), với S′ nhỏ hơn 4A. Phần n·4A mất n·T; phần n·2A mất n·T/2.
3. Với phần lẻ S′, xác định vật đi từ li độ nào đến li độ nào (nhớ đổi chiều khi chạm biên), rồi dùng vòng tròn lượng giác hoặc bảng thời gian dưới đây.
4. Cộng các khoảng thời gian và kiểm tra lại bằng cách thay t vào phương trình.

Bảng thời gian ngắn nhất để vật đi giữa các vị trí đặc biệt (dùng nhiều trong trắc nghiệm):

Vật đi từ	Đến	Thời gian ngắn nhất
x = 0	x = ±A/2	T/12
x = 0	x = ±A√2/2	T/8
x = 0	x = ±A√3/2	T/6
x = 0	x = ±A	T/4
x = ±A/2	x = ±A (cùng dấu)	T/6
x = ±A√3/2	x = ±A (cùng dấu)	T/12

Những lỗi hay gặp

• Chia quãng đường cho tốc độ cực đại: 25/(50π) ≈ 0,16 s là sai, vì tốc độ của vật thay đổi liên tục, chỉ đạt 50π cm/s khi qua vị trí cân bằng.
• Nghĩ rằng cứ T/4 thì đi được A: điều này chỉ đúng khi vật bắt đầu từ vị trí cân bằng hoặc vị trí biên. Nếu bắt đầu ở x = A/2 chẳng hạn, trong T/4 vật đi được quãng đường khác A.
• Nhầm quãng đường với độ dời: sau 0,25 s độ dời là 5 cm nhưng quãng đường là 25 cm. Đề hỏi “quãng đường” thì phải cộng cả đoạn đi và đoạn về.
• Quên đổi T: ω = 10π rad/s cho T = 0,2 s, không phải 0,1 s hay 5 s (5 Hz là tần số f).

Bài tập tương tự có đáp án

Các bài dưới đây cùng dùng phương trình x = 5cos(10πt − π/2) cm, T = 0,2 s, vật xuất phát từ vị trí cân bằng theo chiều dương.

Bài 1. Tính thời gian để vật đi được quãng đường 12,5 cm kể từ t = 0.

Đáp án: 12,5 cm = 2A + A/2. Đi 2A mất T/2 và vật lại về vị trí cân bằng (lúc này đi theo chiều âm); đi thêm A/2 từ vị trí cân bằng mất T/12. Vậy t = T/2 + T/12 = 7T/12 = 7/60 s ≈ 0,117 s.

Bài 2. Tính thời gian để vật đi được 7,5 cm kể từ t = 0.

Đáp án: 7,5 cm = A + A/2. Từ vị trí cân bằng ra biên dương mất T/4 (đi 5 cm), sau đó vật quay lại từ x = 5 cm về x = 2,5 cm (thêm 2,5 cm) mất T/6. Vậy t = T/4 + T/6 = 5T/12 = 1/12 s ≈ 0,083 s.

Bài 3. Tính quãng đường vật đi được trong 0,35 s đầu tiên.

Đáp án: 0,35 s = 1,75T = T + 3T/4. Trong T vật đi 4A = 20 cm; trong 3T/4 tiếp theo, xuất phát từ vị trí cân bằng, vật đi 3A = 15 cm. Tổng S = 35 cm.

Bài 4. Tính quãng đường vật đi được trong 1/30 s đầu tiên.

Đáp án: 1/30 s = T/6. Từ vị trí cân bằng, sau T/6 vật tới x = A√3/2 và chưa đổi chiều, nên S = 5√3/2 ≈ 4,33 cm.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao trong một chu kì vật luôn đi được quãng đường 4A?

Sau một chu kì vật trở về đúng trạng thái ban đầu, và trên đường đi nó phải qua cả hai biên, nên quãng đường luôn bằng 4A, bất kể xuất phát từ vị trí nào.

Trong một phần tư chu kì vật có luôn đi được quãng đường A không?

Không. Chỉ khi vật bắt đầu từ vị trí cân bằng hoặc từ vị trí biên thì trong T/4 vật mới đi được đúng A; xuất phát ở vị trí khác thì quãng đường nằm trong khoảng từ A(2 − √2) đến A√2.

Pha ban đầu +π/2 và −π/2 có làm thay đổi đáp số 0,25 s không?

Không. Cả hai trường hợp vật đều bắt đầu ở vị trí cân bằng, chỉ khác chiều chuyển động, nên thời gian đi 25 cm vẫn là T + T/4 = 0,25 s.

Làm sao tính nhanh chu kì từ phương trình x = Acos(ωt + φ)?

Dùng T = 2π/ω. Với ω = 10π rad/s thì T = 0,2 s và tần số f = 1/T = 5 Hz.

Tốc độ trung bình của vật trong 0,25 s đầu là bao nhiêu?

Tốc độ trung bình bằng quãng đường chia thời gian: 25 cm : 0,25 s = 100 cm/s.

Bài học liên quan

• Ví dụ hiện tượng cho thấy bạn đang sống trong trường hấp dẫn của Trái Đất
• Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm dao động điều hoà: cách đọc, giải bài
• Tốc độ truyền sóng cơ học phụ thuộc vào yếu tố nào?
• Bước sóng là khoảng cách giữa hai điểm nào trên phương truyền sóng?
• Dao động của con lắc đồng hồ là dao động gì? Giải thích chi tiết
• Từ trường tồn tại ở đâu? Xung quanh điện tích đứng yên có từ trường không?