Trả lời nhanh
Năng lượng của vật dao động điều hòa gồm động năng Wđ = ½mv² và thế năng Wt = ½kx². Hai dạng này biến thiên qua lại nhưng tổng của chúng, tức cơ năng W = ½kA² = ½mω²A², luôn không đổi nếu bỏ qua ma sát. Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ.
1. Hai dạng năng lượng trong dao động điều hòa
Xét con lắc lò xo gồm vật khối lượng m gắn với lò xo độ cứng k, dao động theo phương trình x = A cos(ωt + φ) với ω² = k/m. Vận tốc của vật là v = −ωA sin(ωt + φ).
- Động năng: Wđ = ½mv² = ½mω²A² sin²(ωt + φ).
- Thế năng (đàn hồi): Wt = ½kx² = ½mω²A² cos²(ωt + φ).
Với con lắc đơn dao động nhỏ, thế năng là thế năng hấp dẫn và có thể viết gần đúng Wt = ½mglα² (α là li độ góc, đo bằng rad). Cách lập luận về cơ năng vẫn tương tự.
2. Cơ năng – đại lượng bảo toàn
Cộng hai biểu thức và dùng sin² + cos² = 1:
W = Wđ + Wt = ½mω²A² = ½kA² = const.
Từ đó có hai hệ quả rất hay dùng:
- Wt = ½kx² nên Wt/W = x²/A².
- Wđ = W − Wt = ½k(A² − x²), nên Wđ/W = 1 − x²/A².
Mẹo nhớ: cơ năng chỉ phụ thuộc k và A, không phụ thuộc thời gian. Muốn tăng gấp đôi biên độ thì cơ năng tăng gấp bốn.
3. Sự chuyển hóa năng lượng và đồ thị
| Vị trí | Li độ | Thế năng | Động năng |
|---|---|---|---|
| Biên | x = ±A | Cực đại (= W) | Bằng 0 |
| Vị trí cân bằng | x = 0 | Bằng 0 | Cực đại (= W) |
| Vật đi từ biên về cân bằng | |x| giảm | Giảm | Tăng |
| Vật đi từ cân bằng ra biên | |x| tăng | Tăng | Giảm |
Đồ thị theo li độ của Wt là parabola quay bề lõm lên, của Wđ là parabola quay bề lõm xuống, còn cơ năng là đường nằm ngang.
4. Chu kì và tần số của năng lượng
Vì sin² và cos² có thể viết qua cos(2ωt + 2φ), nên động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với:
- tần số góc ω’ = 2ω, tần số f’ = 2f, chu kì T’ = T/2;
- giá trị trung bình trong một chu kì của mỗi dạng là W/2.
Hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng cách nhau T/4. Lúc đó Wđ = Wt = W/2 nên x = ±A/√2.
5. Ví dụ có số liệu
Ví dụ (tự đặt): Con lắc lò xo có m = 0,1 kg, k = 40 N/m, dao động với biên độ A = 5 cm. Tính cơ năng, tốc độ cực đại, và động năng, tốc độ khi x = 3 cm.
- Cơ năng: W = ½kA² = ½·40·(0,05)² = 0,05 J.
- ω = √(k/m) = √400 = 20 rad/s; vmax = ωA = 1 m/s. Kiểm tra: ½·0,1·1² = 0,05 J, khớp với W.
- Tại x = 3 cm: Wt = ½·40·(0,03)² = 0,018 J, suy ra Wđ = 0,05 − 0,018 = 0,032 J.
- Tốc độ: v = √(2Wđ/m) = √0,64 = 0,8 m/s (cũng bằng ω√(A² − x²) = 20·0,04).
6. Lỗi sai thường gặp
- Đổi sai đơn vị: A phải đổi ra mét (cm → m) trước khi thay vào công thức để ra jun.
- Nhầm chu kì của năng lượng với chu kì của li độ: năng lượng có chu kì T/2.
- Cho rằng cơ năng biến thiên theo thời gian. Cơ năng chỉ không đổi khi bỏ qua ma sát; nếu có lực cản thì dao động tắt dần và cơ năng giảm.
- Quên gốc thế năng: công thức Wt = ½kx² chọn gốc ở vị trí cân bằng (lò xo nằm ngang). Với lò xo treo thẳng đứng, x vẫn tính từ vị trí cân bằng, không tính từ vị trí lò xo không biến dạng.
7. Bài luyện tập
- Vật m = 200 g dao động điều hòa với ω = 10 rad/s, biên độ 4 cm. Tính cơ năng.
Đáp án: W = ½·0,2·10²·(0,04)² = 0,016 J. - Với biên độ A, tại li độ x = A/2, tính tỉ số Wt/W và Wđ/W.
Đáp án: Wt/W = 1/4; Wđ/W = 3/4. - Tại li độ nào thì Wđ = 3Wt?
Đáp án: Wt = W/4 nên x² = A²/4, x = ±A/2. - Vật dao động với tần số 2 Hz. Động năng biến thiên với chu kì bao nhiêu?
Đáp án: tần số của động năng là 4 Hz nên chu kì 0,25 s.
Câu hỏi thường gặp
Cơ năng của vật dao động điều hòa tính bằng công thức nào?
W = ½kA² = ½mω²A². Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ và không đổi theo thời gian khi bỏ qua ma sát.
Động năng và thế năng biến thiên với chu kì bao nhiêu?
Cả hai biến thiên tuần hoàn với chu kì T/2 và tần số 2f, trong đó T và f là chu kì, tần số của dao động. Giá trị trung bình mỗi dạng trong một chu kì là W/2.
Khi nào động năng bằng thế năng?
Khi x = ±A/√2, lúc đó mỗi dạng bằng W/2. Hai lần liên tiếp thỏa mãn điều này cách nhau T/4.
Vì sao cơ năng của con lắc lò xo thực tế giảm dần?
Vì có lực ma sát và lực cản của không khí làm tiêu hao năng lượng thành nhiệt, biên độ giảm dần và dao động tắt dần.