Trả lời nhanh
Khối lượng riêng được định nghĩa ρ = m/V. Khối lượng m có thứ nguyên M, thể tích V có thứ nguyên L³, nên thứ nguyên của khối lượng riêng là dim ρ = M·L-3 (đọc là “M nhân L mũ trừ ba”). Trong hệ SI, đơn vị tương ứng là kg/m³.
Thứ nguyên là gì? Nhắc nhanh
Thứ nguyên của một đại lượng cho biết nó được tạo thành từ các đại lượng cơ bản nào và với số mũ bao nhiêu. Ta kí hiệu thứ nguyên của đại lượng x là dim x, hoặc đặt trong ngoặc vuông [x].
Ba đại lượng cơ bản hay gặp nhất ở lớp 10 là:
- Độ dài: L (đơn vị mét, m)
- Khối lượng: M (đơn vị kilôgam, kg)
- Thời gian: T (đơn vị giây, s)
Ngoài ra còn có cường độ dòng điện (I), nhiệt độ (Θ), lượng chất (N) và cường độ sáng (J). Riêng bài khối lượng riêng, ta chỉ cần M và L.
Phân tích thứ nguyên của khối lượng riêng
Bước 1. Viết công thức định nghĩa: ρ = m/V.
Bước 2. Tìm thứ nguyên từng đại lượng ở vế phải:
- dim m = M
- V là thể tích, ví dụ thể tích hình hộp V = a·b·c với a, b, c đều là độ dài, nên dim V = L·L·L = L³
Bước 3. Thương của hai đại lượng thì thứ nguyên chia cho nhau:
dim ρ = dim m / dim V = M / L³ = M·L-3
Bước 4. Đối chiếu với đơn vị: khối lượng đo bằng kg, thể tích đo bằng m³, vậy ρ đo bằng kg/m³ = kg·m-3. Số mũ trong đơn vị khớp với số mũ trong thứ nguyên.
Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp
- Mẹo nhớ: “Trên M, dưới L ba” – khối lượng ở tử, độ dài lập phương ở mẫu. Đơn vị kg/m³ nhìn là suy ra ngay.
- Lỗi 1: viết dim ρ = M·L³ (quên dấu trừ). Vì V nằm ở mẫu nên số mũ của L phải âm.
- Lỗi 2: viết dim ρ = kg/m³. Đó là đơn vị, không phải thứ nguyên. Thứ nguyên dùng kí hiệu chữ in hoa M, L, T.
- Lỗi 3: nhầm thể tích có thứ nguyên L² hoặc L. Diện tích là L², thể tích mới là L³.
- Lỗi 4: đổi đơn vị g/cm³ sang kg/m³ sai. Đúng là 1 g/cm³ = 10-3 kg / 10-6 m³ = 1000 kg/m³ (nước có ρ ≈ 1000 kg/m³ = 1 g/cm³). Việc đổi đơn vị không làm thay đổi thứ nguyên.
Ứng dụng: kiểm tra công thức bằng thứ nguyên
Một công thức vật lí đúng thì hai vế phải có cùng thứ nguyên. Ta dùng điều này để phát hiện công thức sai (nhưng chưa chắc đủ để khẳng định đúng, vì hằng số không thứ nguyên như 2, π không bị kiểm tra).
Ví dụ 1: Áp suất thuỷ tĩnh p = ρ·g·h
Trước hết, p = F/S, với dim F = M·L·T-2 và dim S = L², nên dim p = M·L-1·T-2.
Vế phải: dim(ρ·g·h) = (M·L-3)·(L·T-2)·L = M·L-1·T-2. Hai vế bằng nhau nên công thức nhất quán về thứ nguyên.
Ví dụ 2: Lực đẩy Ác-si-mét F = ρ·g·V
dim(ρ·g·V) = (M·L-3)·(L·T-2)·L³ = M·L·T-2, trùng với thứ nguyên của lực. Công thức đúng.
Bài luyện tập
Bài 1. Trọng lượng riêng d = P/V (P là trọng lượng). Tìm thứ nguyên của d.
Đáp án: dim P = M·L·T-2, dim V = L³ nên dim d = M·L-2·T-2. (Cũng có d = ρ·g: M·L-3·L·T-2, cùng kết quả; đơn vị N/m³.)
Bài 2. Một bạn viết tốc độ truyền của sóng trong chất khí là v = √(p/ρ), với p là áp suất. Công thức này có phù hợp về thứ nguyên không?
Đáp án: p/ρ có thứ nguyên (M·L-1·T-2)/(M·L-3) = L²·T-2. Lấy căn bậc hai được L·T-1, đúng là thứ nguyên của vận tốc. Công thức phù hợp.
Bài 3. Một khối sắt hình hộp có khối lượng 3,9 kg, thể tích 0,5 dm³. Tính ρ theo kg/m³ và nêu thứ nguyên.
Đáp án: 0,5 dm³ = 0,5·10-3 m³ = 5·10-4 m³. ρ = 3,9 / (5·10-4) = 7800 kg/m³. Thứ nguyên vẫn là M·L-3. (Số liệu là ví dụ tự đặt, gần với khối lượng riêng của sắt.)
Tóm tắt
- ρ = m/V ⇒ dim ρ = M·L-3.
- Đơn vị SI: kg/m³; thường gặp thêm g/cm³ (1 g/cm³ = 1000 kg/m³).
- Muốn kiểm tra công thức, đưa từng đại lượng về M, L, T rồi so sánh hai vế.
Câu hỏi thường gặp
Thứ nguyên của khối lượng riêng là gì?
dim ρ = M·L⁻³, vì ρ = m/V với m có thứ nguyên M và thể tích V có thứ nguyên L³.
Thứ nguyên khác đơn vị ở điểm nào?
Thứ nguyên cho biết đại lượng được cấu thành từ các đại lượng cơ bản nào (M, L, T…), không phụ thuộc cách chọn đơn vị. Đơn vị là chuẩn đo cụ thể, như kg/m³ hay g/cm³.
Đổi g/cm³ sang kg/m³ như thế nào?
Nhân với 1000: 1 g/cm³ = 1000 kg/m³. Ví dụ 7,8 g/cm³ = 7800 kg/m³.
Thứ nguyên của trọng lượng riêng là gì?
d = ρ·g nên dim d = M·L⁻²·T⁻², đơn vị trong SI là N/m³.