Trình bày lời giải

a) Ta  có

\[A = \left[ {\frac{3}{2} - \frac{{{x^6} + {x^4} - {x^4} - 1}}{{{x^2} + 1}}.\frac{{{x^3} - 4{x^2} + x - 4}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {{x^6} - 1} \right)}}} \right]:\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \left[ {\frac{3}{2} - \frac{{{x^6} - 1}}{{{x^2} + 1}}\frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {{x^6} - 1} \right)}}} \right].\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}\]

\[ = \left[ {\frac{3}{2} - \frac{{x - 4}}{{x + 6}}} \right].\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}\]

\[ = \frac{{3x + 18 - 2x + 8}}{{2\left( {x + 6} \right)}}.\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 26}}{{2\left( {x + 6} \right)}}\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}} = \frac{{3x - 6}}{{2x + 6}}\]

b) Tập xác định \[x \notin \left\{ {1;2; - 3; - 6; - 26} \right\}\]

\[\begin{array}{l}A \in Z\\ \Rightarrow 2A = \frac{{6x - 12}}{{2x + 6}} = \frac{{3x - 6}}{{x + 3}}\\ = 3 - \frac{{15}}{{x + 3}} \in Z\end{array}\]

Suy ra các trường hợp sau:

So sánh với tập xác định và thử lại thì \[x \in \left\{ { - 2; - 4;0; - 8;12; - 18} \right\}\] thì \[A \in Z\]

Ví dụ 3. Cho biểu thức \[M = \left( {\frac{{{a^2} + a - 2}}{{{a^{n + 1}} - 3{a^n}}}} \right)\left[ {\frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} - {a^2}}}{{4{a^2} - 4}} - \frac{3}{{{a^2} - a}}} \right]\left( {n \in {N^*}} \right)\]

a) Rút gọn M.

b) Với \[a > 2\]. Chứng minh rằng: \[0 < M < 1\]

Giải

a, Ta có:

\[M = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{a^n}\left( {a - 3} \right)}}.\left[ {\frac{{4a + 4}}{{4\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} - \frac{3}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{a^n}\left( {a - 3} \right)}}\left[ {\frac{{4a}}{{4a\left( {a - 1} \right)}} - \frac{{12}}{{4a\left( {a - 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{a^n}\left( {a - 3} \right)}}.\left[ {\frac{{a - 3}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right] = \frac{{a + 2}}{{{a^{n + 1}}}}\]

b) Ta có: \[M = \frac{{a + 2}}{{{a^{n + 1}}}} < \frac{{a + a}}{{{a^{n + 1}}}}\] (vì \[a < 2\])

\[ \Rightarrow M < \frac{{2a}}{{{a^{n + 1}}}} = \frac{2}{{{a^n}}} < \frac{2}{{{2^n}}} < 1\]

mặt khác: \[a + 2 > 0;{a^{n + 1}} > 0 \Rightarrow M > 0\]

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1} \right){{\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} \right)}^2}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} - \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)}}\]

Giải

Ta có:

 \[P = \frac{{\frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{xy}}{{\left( {\frac{{x - y}}{{xy}}} \right)}^2}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}:\frac{{{x^4} + {y^4} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)xy}}{{{x^2}{y^2}}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}:\frac{{{x^4} + {y^4} - {x^3}y - {y^3}x}}{{{x^2}{y^2}}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\frac{{{x^2}{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right)}}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\\ = \frac{1}{{xy}}\end{array}\]

Ví dụ 5. Giả sử x, y, z là các số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức:

\[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + y\left( {\frac{1}{z} + \frac{1}{x}} \right) + z\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) =  - 2\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\end{array} \right.\]

Hãy tính giá trị của biểu thức: \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]

Giải

Tìm cách giải. Bài toán này thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện của biến số. Quan sát, nhận thấy bài toán có hai điều kiện nhưng có ba biến số (số biến nhiều hơn số điều kiện). Do điều kiện hai đơn giản, không phân tích tiếp được. Với điều kiện thứ nhất, chúng ta biến đổi và nhận thấy phân tích thành nhân tử được, tìm được mối quan hệ giữa hai trong ba biến. Từ đó tìm được cách giải sau.

Trình bày lời giải.

Từ đẳng thức: \[x\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + y\left( {\frac{1}{z} + \frac{1}{x}} \right) + z\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) =  - 2\]

Ta có: \[2xyz + {x^2}z + {x^2}y + {y^2}z + {z^2}y + {z^2}x = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {xyz + {x^2}z} \right) + \left( {xyz + {y^2}z} \right) + \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right) + \left( {{z^2}x + {z^2}y} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\y + z = 0\\z + x = 0\end{array} \right.\]

Không mất tổng quát, giả sử \[x + y = 0 \Rightarrow {x^3} + {y^3} = 0\]

Từ \[{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\] thì \[{z^3} = 1 \Rightarrow z = 1\]

Vậy \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1\]

III. Bài tập vận dụng

1.1. Rút gọn

\[A = \left( {a + \frac{2}{{0,5a + 1}}} \right):\frac{{{a^3} - 8}}{{a + 2}} + \frac{2}{{2a - {a^2}}}\]

1.2. Rút gọn biểu thức:

a) \[A = \left( {1 + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right).\frac{{1 + \frac{a}{{b + c}}}}{{1 - \frac{a}{{b + c}}}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\]

b) \[B = \left( {\frac{{{y^2} - yz + {z^2}}}{x} + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} - \frac{3}{{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}}}} \right).\frac{{\frac{2}{y} + \frac{2}{z}}}{{\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}}} + {\left( {x + y + z} \right)^2}\]

1.3. Cho \[A = \left( {\frac{1}{3} + \frac{3}{{{x^2} - 3x}}} \right):\left( {\frac{{{x^2}}}{{27 - 3{x^2}}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)\]

a) Rút gọn A

b) Tìm x để \[A <  - 1\]

1.4. Cho biểu thức \[M = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - x - 2}}{{{x^3} - 2{x^2} - 3x}}\left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - {x^2}}}{{4{x^2} - 4}} - \frac{3}{{{x^2} - x}}} \right]\]

Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi \[M = 3\]

1.5. Cho biểu thức: \[A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{2}{{2 - x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\]

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A. Biết \[\left| x \right| = \frac{1}{2}\]

c) Tìm giá trị của x để \[A < 0\]

d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

1.6. Cho \[Q = \frac{{12x - 45}}{{{x^2} - 7x + 12}} - \frac{{x + 5}}{{x - 4}} + \frac{{2x + 3}}{{3 - x}}\]

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tính giá trị Q tại \[\left| x \right| = 3\]

c) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.

1.7. Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điêu kiện: \[x > 0,y < 0\] và \[x + y = 1\].

a) Rút gọn biểu thức: \[A = \frac{{y - x}}{{xy}}:\left[ {\frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} - \frac{{2{x^2}y}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{y^2} - {x^2}}}} \right]\]

b) Chứng minh rằng: \[A =  - 4\]

1.8. Cho x, y, z thỏa mãn \[x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\]  và \[xyz = 1\]

Tính giá trị \[M = \frac{{{x^6} + {y^6} + {z^6}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}\]

1.9. Cho \[a \notin \left\{ {0;1; - 1} \right\}\] và

\[{x_1} = \frac{{a - 1}}{{a + 2}};{x_2} = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_1} + 1}};{x_3} = \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_2} + 1}};...\]

Tìm a nếu \[{x_{2020}} = 3\]

1.10. Cho \[M = \frac{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^6} - \left( {{x^6} + \frac{1}{{{x^6}}}} \right) - 2}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^3} + {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}}}\]

a) Rút gọn M.

b) Cho \[x > 0\], tìm giá trị nhỏ nhất của M.

1.11. Cho biểu thức \[A = \left[ {\left( {\frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\frac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]:\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}\]

Chứng tỏ rằng biểu thức A dương với mọi \[x \ne  \pm 1\]

1.12. Cho \[P = \left[ {\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}}:{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)}^2}} \right].\frac{1}{{x - y}}\]

Và \[Q = \frac{1}{{x + y}} + \frac{{2xy}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{3}{{{x^2} - 2x + 2}}\]

Với giá trị nào của x; y thì P – Q đạt giá trị nhỏ nhất.