Chuyên đề Giới hạn của dãy số 2023 hay, chọn lọc

Tải xuống 130 2.8 K 26

Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Giới hạn của dãy số thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 130 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Chuyên đề Giới hạn của dãy số

Phần 1: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞. 

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0

Kí hiệu: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay lim un = L hay un → L  khi n → +∞.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu : lim un = +∞ hoặc un → +∞ khi n → +∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim(−un) = +∞ 

Ký hiệu : lim un = −∞ hoặc un → −∞ khi n → +∞

d) Một vài giới hạn đặc biệt

 lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)        

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(un + vn) = a + b 

lim(un - vn) = a - b 

lim(un vn) = a.b 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

lim(cun ) = c.a 

lim|un | = |a| 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Nếu u≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): 

Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì lim un = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): 

Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞ 

+∞ 

+

−∞

−∞ 

-

+∞ 

−∞

-

−∞

+∞ 

Quy tắc tìm giới hạn thương Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

lim un = L

lim vn 

Dấu của vn

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

L 

±∞ 

Tùy ý

0 

L > 0 

0 

+

+∞

- 

 −∞ 

L < 0

+ 

 −∞ 

-

+∞

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

2. Các dạng toán

Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

 lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)        

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

c) lim (-0,999)n 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải: 

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)        

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11     

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

 Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu u= L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞ 

+∞ 

+

−∞ 

−∞ 

-

+∞ 

−∞ 

-

−∞ 

 +∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim (n4 − 2n2 +3)

b) lim ( −2n3 + 3n − 1) 

c) lim (5n − 2n 

Lời giải

a) lim (n4 − 2n2 +3) = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vì lim n4 = +∞; Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  .

b) lim ( −2n3 + 3n − 1) = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Vì lim n3 = +∞;Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

c) lim (5n − 2n) = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Vì lim 5n = +∞ và Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  .

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Vì Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞ 

+∞ 

+

−∞ 

−∞ 

-

+∞ 

−∞ 

-

−∞ 

+∞ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a. 

Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un):Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a

Suy ra Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 ⇒ a2 + 2a = 2a + 3 ⇔ a2 = 3 ⇔ Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11    .

Do u1 = 1 > 0, Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11∀n ∈ ℕ* nên a > 0 ⇒ Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Vậy Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  .

Lời giải

Vì Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a

Suy ra Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11     

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải: 

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1. 

Tổng n số hạng của cấp số cộng: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 3; 3; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

(Bằng quy nạp ta luôn có  n < 2n ,∀n ∈ ℕ* và 3n > 1, ∀n ∈ ℕ* ⇒ 3n+1 − 3n = 2.3n > 2 >1 ⇒ 3n+1 − 1 > 3n).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lời giải

a) Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 +... là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...  

b) b = 2,151515... 

Lời giải

a) Ta có a = 0,32111... = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vì Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

b) Ta có b = 2,151515... = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Vì Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn vớiGiới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Câu 4. Tính giới hạn Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  bằng

A. 0.                          B. 1.                          C. +∞ .                      D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (un) vớiGiới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Khi đó lim un bằng

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11       

Câu 6. Cho dãy số (un) vớiGiới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Khi đó lim un bằng 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 7. Tính Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  bằng:

A. +∞ .                      B. −∞ .                      C. -1.                         D. 0. 

Câu 8. Tính Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Câu 9. Tính Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1, Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 với mọi n ≥ 1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 12. Giới hạn dãy số (un) với Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 là.

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Câu 13. Chọn kết quả đúng của Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

A. 5.                          B. Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  .                        C. −∞ .                      D. +∞ .

Câu 14. Tổng Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

D

D

A

A

B

B

C

D

D

B

A

D

B

B

Phần 2: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Giới hạn của hàm số tại một điểm:

* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0}  và x→ x0, ta có: f(xn) → L. 

Kí hiệu: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 hay f(x) → L khi x → x0

Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Giới hạn ra vô cực: 

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → xthì f(xn) → +∞. 

Kí hiệu: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Hàm số y = f(x)  có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn): xn → xthì f(xn) → −∞.

Kí hiệu:Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

b) Giới hạn của hàm số tại vô cực

* Giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞  thì f(xn) → L. 

Kí hiệu: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn < b và xn → −∞ thì f(xn) → L. 

Kí hiệu: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (a;+∞) có giới hạn dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞). 

Kí hiệu: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

- Ta nói hàm số y = f(x)  xác định trên (−∞; b)  có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn): xn < b và xn → −∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → −∞). 

Kí hiệu: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

c) Các giới hạn đặc biệt:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 với c là hằng số

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 với k nguyên dương;

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 với k lẻ,Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 với k chẵn

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

d) Một vài định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11thì:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11; nếu c là một hằng số thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Nếu f(x) ≥ 0, Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Chú ý: 

- Các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → +∞ hoặc x → −∞. 

- Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

Nguyên lí kẹp

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

e) Quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

L > 0

+∞ 

+∞ 

−∞ 

−∞ 

L < 0

+∞

−∞ 

−∞

+∞ 

Quy tắc tìm giới hạn của thương Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dấu của g(x)

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

L

±∞ 

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞  

0

-

−∞  

L < 0

0

+

−∞  

0

-

+∞  

f) Giới hạn một bên

* Giới hạn hữu hạn

- Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0;b),(x0 ∈ Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số bất kì (xn) những số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 hoặc f(x) → L khi x → x0+.

- Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;x0), (x0 ∈ Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11). Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kì (xn) những số thuộc khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 hoặc f(x) → L khi x → x0.

- Nhận xét:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → x0 hoặc x → x0+.

* Giới hạn vô cực

- Các định nghĩa Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11,Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11và Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

- Nhận xét: Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi +∞ hoặc −∞ 

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

- Áp dụng quy tắc về giới hạn tới vô cực:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dấu của g(x)

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

L

±∞ 

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞ 

0

-

−∞ 

L < 0

0

+

−∞ 

0

-

+∞ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

a) Vì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 nên Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Dạng 2: Giới hạn tại vô cực 

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

L > 0

+∞ 

+∞ 

−∞ 

−∞ 

L < 0

+∞ 

−∞ 

−∞ 

+∞ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lời giải

a) Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

b) Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Vì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Nếu Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi hai hàm số g(x) và h(x) sao cho Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

−1 ≤ sin x ≤ 1

−1 ≤ cos x ≤ 1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

a) Ta có: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Mà Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

b) Ta có:Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Mà Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

 Ta có: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Mà Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dạng 4: Giới hạn dạng vô địnhGiới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Nhận biết dạng vô định Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 trong đó f(x0) = g(x0) = 0. 

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nhân tử chung là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x). 

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x). 

Khi đó Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11, nếu giới hạn này có dạng Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên. 

Các lượng liên hợp:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì ta phân tích: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dạng 5: Giới hạn dạng vô địnhGiới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Nhận biết dạng vô định Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương pháp giải:

- Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lời giải

a) Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11     

b) Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dạng 6: Giới hạn dạng vô định ∞ − ∞ và 0.∞ 

Phương pháp giải:

- Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

- Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Lời giải

a)Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính giới hạn tới vô cực

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Dấu của g(x)

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

L

 ±∞

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞ 

0

-

−∞

L < 0

0

+

  −∞  

0

-

  +∞ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Ví dụ 2: Cho hàm số Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 . Tính:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lời giải

a) Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

b) Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Dạng 8: Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước

Phương pháp giải:

Sử dụng nhận xét: Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

- Tính giới hạn Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11     

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Tìm m.

Khi đó với m vừa tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước và giới hạn đó bằng L =Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 ⇒ a = 1.

Vậy a = 1. 

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11để tồn tại Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Ta có Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 ⇒ m − 3 = −2 ⇔ m = 1.

Vậy m = 1. 

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  bằng:

A. -1                          B. −∞                       C. +∞                        D. -3       

Câu 2. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

A. -2                          B. Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11                        C. Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11                       D. 2

Câu 3. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

A. 3                           B. 1                           C. 4                           D. 2

Câu 4. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 5. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 6. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

A. 4                           B. 3                           C. 0                           D. 1 

Câu 7. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng

A. -2                          B. 1                           C. 2                           D. -1

Câu 8. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng

A. −∞                        B. +∞                         C. 0                           D. 4

Câu 9. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 là:

A. 0                           B. +∞                        C. -2                          D. −∞

Câu 10. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

A. -2                          B. −∞                        C. 0                           D. +∞ 

Câu 11. Cho Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Giá trị của a là:

A. 6                           B. 10                         C. -10                        D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 bằng:

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 14. Cho Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Tính Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11.

A. 0                           B. 4                           C. +∞                         D. Không tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 có giới hạn tại x = 0.

A. m = - 1                 B. m = 2                    C. m = -2                  D. m = 1

 

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

A

A

B

A

C

A

C

B

A

C

C

B

A

D

Phần 3: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0 ∈ K

 - Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

 - Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.

b) Hàm số liên tục trên một khoảng

 - Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó.

 - Hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

c) Các định lý cơ bản

Định lý 1: 

 - Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tậpHàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

 - Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 2: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0. Khi đó:

 - Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

 - Hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 liên tục tại x0 nếu g( x) ≠ 0.

Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

2. Các dạng toán

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0). 

Bước 2: Tính Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11

Bước 3: Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

 Nếu f2(x0) ≠ L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = - 1.

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

Ta có: f(-1) = 3

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ta thấy Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Vậy hàm số liên tục tại x = - 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên [0;+∞) .

Ta có

f(1) = m2.

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: 

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính giới hạn trái: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Tính giới hạn phải: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Bước 2: 

Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái tại x0

Nếu L = L2 thì hàm số liên tục bên phải tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0)

    * Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Lời giải

Ta có: 

f(- 1) = = 2. (-1) + 3 = 1

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ta thấy Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy hàm số gián đoạn tại x = - 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1

Lời giải

Ta có: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Khi đó: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Hay: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 (vì x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1))

Ta có: f(1) = m

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

 Để hàm số liên tục tại x = 1 thì Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11   

Khi đó: 1 = m = - 1 (vô lý)

Vậy không tồn tại m để hàm số liên tục tại x = 1.

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 Xét sự liên tục của hàm số.

Lời giải

Hàm số xác định và liên tục trên (−∞;1) và (1;+∞).

Xét tính liên tục tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ta thấy Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục trên Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

Ví dụ 2: Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 Tìm m để hàm số liên tục trên [0;+∞).

Lời giải

Với x ∈ (0;9)Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 xác định và liên tục trên (0;9). 

Với x ∈ (9;+∞)Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 xác định và liên tục trên (9;+∞). 

Với x = 9, ta có Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

 và Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Ta thấy Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 nên hàm số liên tục tại x = 9.

Với x = 0 ta có f(0) = m.

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Để hàm số liên tục trên [0;+∞) thì hàm số phải liên tục tại x = 0

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 thì hàm số liên tục trên [0;+∞) .

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

 - Tìm hai số a và b sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0. 

 - Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b) 

* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

 - Tìm k cặp số ai; bi sao cho các khoảng (ai; birời nhau và f(ai).f(bi) < 0; i = 1; 2; … k. 

 - Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm  xi ∈ ( ai;b).

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phương trình: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (-1; 3). 

b) Phương trình Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 có bao nhiêu nghiệm.

Lời giải

a) Xét hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 liên tục trên [- 1; 3].

Ta có: Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Ta thấy:

f(- 1).f(0) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (- 1; 0)

f(0).f(½) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;½) 

f(½).f(1) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (½;1) 

f(1).f(3) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 3)

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng (-1; 3). 

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).

b) Đặt Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11. Khi đó phương trình đã cho có dạng 2t3 – 6t + 1 = 0 

Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 liên tục trên Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11.

Ta có f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.

Ta thấy:

f(- 2).f(0) = - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t1 ∈ (−2;0). Khi đó x1 = 1 − t13,x1 ∈ (1;9).  

f(0).f(1) = - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t2 ∈ (0;1). Khi đó x2 = 1 − t23,x2 ∈ (0;1). 

f(1).f(2) = - 15 < 0, phương trình có một nghiệm t3 ∈ (1;2). Khi đó x3 = 1 − t33,x3 ∈ (-7;0).

Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Vậy phương trình Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-7; 9).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 và f(-1) = m2 + 1 

nên f(−1).f(0) = −(m2 + 1) < 0,∀m ∈ Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1; 0] 

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0).

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x = 4.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x = 4.

C. Hàm số không liên tục tại x = 4.

D. Tất cả đều sai.

Câu 2. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Khẳng định nào sau đây đúng nhất: 

A. Hàm số liên tục tại x0 = -1.                     

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.                 

C. Hàm số gián đoạn tại x0 = -1.                 

D. Tất cả đều sai. 

Câu 3. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x0 = 0.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng gián đoạn tại x0 = 0.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm.

D. Tất cả đều sai.

Câu 4. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2.

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.

(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].

A. Chỉ (I) và (III).      B. Chỉ (I).                  C. Chỉ (II).                D. Chỉ (II) và (III).

Câu 5. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên R.

B. Hàm số liên tục tại mọi R\{-2; 3} và hàm số gián đoạn tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số liên tục tại x = -2; x = 3.

D. Tất cả đều sai.

Câu 6. Tìm m để các hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 liên tục trên Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11.

A. m = 1                    B.Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11                    C. m = 2                    D. m = 0

Câu 7. Tìm m để các hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 liên tục trênHàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

A. m = 1                    B.Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11                   C. m = 2                    D. m = 0

Câu 8. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  . 

Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.

Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 9. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11  

Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:

A. 1 hoặc 2.               B. 1 hoặc -1.              C. -1 hoặc 2.             D. 1 hoặc -2.

Câu 10. Cho hàm số Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 

(I). f(x) liên tục tại Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

(II). f(x) gián đoạn tại Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 11 

(III). f(x) liên tục trên R

A. Chỉ (I) và (II).                                         

B. Chỉ (II) và (III).

C. Chỉ (I) và (III).                                        

D. Cả (I),(II),(III) đều đúng.

Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

II. f(x) không liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) ≥ 0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.           B. Chỉ II đúng.          C. Cả I và II đúng.     D. Cả I và II sai.

Câu 12. Cho phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0  (1) .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1).          

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0).          

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1).        

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:

A. 0.                          B. 1.                          C. 2.                          D. 3.

Câu 14. Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0  (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c.

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c.

D. Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c. 

Câu 15. Cho hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

I. (-1; 0).                    II. (0; 1).                    III. (1; 2).

A. Chỉ I.                    B. Chỉ I và II.            C. Chỉ II.                   D. Chỉ III.

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

C

B

A

B

B

B

A

D

C

A

D

D

B

B

Phần 4: Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un| na.

- Để chứng minh limun = 1 ta chứng minh lim(un-1) = 0.

- Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀n > nM.

- Để chứng minh limun = -∞ ta chứng minh lim(-un) = +∞

- Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng minh rằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (-1)n không có giới hạn.

Hướng dẫn:

Ta có: u2n = 1 ⇒ limu2n = 1; u(2n+1) = -1 ⇒ limu(2n+1) = -1

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.

Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Do đó: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Do đó: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Chứng minh rằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy A = 2

2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy C = 1

Bài 7: Chứng minh rằng dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.

Hướng dẫn:

Ta có: u2n → +∞; u(2n+1) = -(2n+1) → -∞

Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.

Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó với mọi n > m+1

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Mà Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án Từ đó suy ra: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm

+ Giả sử a > 1. Khi đó:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Tóm lại ta luôn có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án với a > 0.

Phần 5: Cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Tổng của CSN lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn u1, u2, u3,..un,..có công bội q, với |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng S của cấp số nhân đó là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án nên tổng là Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) biết un = 1/(3n)

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = -1/2

Vậy

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 5: Tìm tổng của dãy số sau:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1, q = -1/10

Vậy

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3 tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

Hướng dẫn:

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 7: Cho dãy số (un) với Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Tính tổng của dãy un

Hướng dẫn:

Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phần 6: Cách tính giới hạn của dãy số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Ta quan sát, phân tích những đặc điểm của dãy số đề bài cho, từ đó rút ra công thu gọn cho tổng đó (có thể dùng công thức tính tổng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân) hoặc biến đổi đại số để giảm bớt những hạng tử trong tổng,…

- Dùng các quy tắc tính giới hạn của dãy số để tính giới hạn của tổng đã cho sau khi đã thu gọn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số (un) với Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án. Tính lim un

Hướng dẫn:

un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.

Do đó

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Tính lim Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Tính Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Tính Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 5: Tính Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 6: Cho dãy số (un). Biết Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án với mọi n ≥ 1. Tìm Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 7: Tính Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Khi đó Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phần 7: Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+) Sử dụng các kiến thức sau:

• Với c là hằng số ta có: lim c = c, lim Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 = 0. Tổng quát lim Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 (k ≥ 1).

• Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn

- Nếu lim un = a và lim vn = b thì

  Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

- Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì

  Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

• Các phép toán trên dãy có giới hạn vô cực

  Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

+) Phương pháp giải:

a) Giới hạn dãy số dạng Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11, trong đó f(n) và g(n) là các biểu thức chứa căn

=> Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy và dùng các kết quả trên để tính.

Quy ước:

Biểu thức Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 có bậc là Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Biểu thức Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 có bậc là Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

b) Giới hạn dãy số dạng Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 với f(n) và g(n) là các đa thức

=> Rút lũy thừa của n có số mũ cao nhất ra và sử dụng kết quả của giới hạn dãy số tại vô cực để tính.

c) Giới hạn của dãy số dạng vô định (Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11) thì ta sử dụng các phép biến đổi liên hợp để đưa dãy số về dạng a) và b).

Các phép biến đổi liên hợp:

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giới hạn Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

A. I = 1

B. I = - 1

C. I = 0

D. I = + ∞

Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp

Biểu thức liên hợp của biểu thức Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Đáp án B

Ví dụ 2: limCách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 bằng:

A. + ∞

B. - ∞

C. -1

D. 0

Hướng dẫn giải:

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Đáp án B

Ví dụ 3: Tính giới hạn: limCách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

A. - 1

B. 3

C. +∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Đáp án C

Ví dụ 4: Giới hạn limCách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11 bằng

A. - 1

B. 1

C. + ∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp bậc ba của biểu thức Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Đáp án A

Ví dụ 5: Tính giới hạn limCách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

A. Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

B. 0

C. + ∞

D. - ∞

Hướng dẫn giải:

Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức cực hay, chi tiết - Toán lớp 11

Đáp án A

Giới hạn dãy số

A. Lý thuyết

I. Dãy số có giới hạn 0 .

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: \(\lim {u_n} = 0\).

Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} = 0\) nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Từ định nghĩa suy ra rằng:

a) \(\lim {u_n} = 0 \Leftrightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0\).

b) Dãy số không đổi \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 0\), có giới hạn là 0 .

c) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 nếu \({u_n}\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là \(n\) đủ lớn.

2. Một số dãy số có giới hạn 0

Định lí 4.1

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\).

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lí 4.2

Nếu \(|q| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Người ta chúng mình được rằng

a) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\).

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0\)

c) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với mọi số nguyên dương \(k\) cho trước.

Trường hợp đặc biệt : \(\lim \frac{1}{n} = 0\).

d) \(\lim \frac{{{n^k}}}{{{a^n}}} = 0\) với mọi \(k \in \mathbb{N}*\) và mọi \(a > 1\) cho trước.

II. Dãy số có giới hạn hữu hạn.

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực L nếu \(\lim \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).

Kí hiệu: \(\lim {u_n} = L\).

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

a) Dãy số không đổi \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = c\), có giới hạn là c.

b) \(\lim {u_n} = L\) khi và chỉ khi khoảng cách \(\left| {{u_n} - L} \right|\) trên trục số thực từ điểm \({u_n}\) đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm \({u_n}\) “ chụm lại" quanh điểm L.

c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

2. Một số định lí

Định lí 4.3

Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó

a) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = |L|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).

b) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi n thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt L \).

Định lí 4.4

Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và c là một hằng số. Khi đó

a) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\).

b) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\).

c) \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = LM\).

D) \(\lim \left( {c{u_n}} \right) = cL\).

e) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{L}{M}(\) nếu \(M \ne 0)\).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa \(|q| < 1\).

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

\(S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} +  \ldots  = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

III. Dãy số có giới hạn vô cực.

1. Dãy số có giới hạn \( + \infty \)

Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

Kí hiệu: \(\lim {u_n} =  + \infty \).

Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} =  + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Người ta chứng minh được rằng:

a) \(\lim \sqrt {{u_n}}  =  + \infty \).

b) \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} =  + \infty \)

c) \(\lim {n^k} =  + \infty \) với một số nguyên dương \(k\) cho trước.

Trường hợp đặc biệt : \(\lim n =  + \infty \).

d) \(\lim {q^n} =  + \infty \) nếu \(q > 1\).

2. Dãy số có giới hạn \( - \infty \)

Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( - \infty \) nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

Kí hiệu: \(\lim {u_n} =  - \infty \).

Nói một cách ngắn gọn, \(\lim {u_n} =  - \infty \) nếu \({u_n}\) có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nhận xét:

a) \(\lim {u_n} =  - \infty  \Leftrightarrow \lim \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \).

b) Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty \) thì \(\left| {{u_n}} \right|\) trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó \(\left| {\frac{1}{{{u_n}}}} \right| = \frac{1}{{\left| {{u_n}} \right|}}\) trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty \) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\).

Định lí 4.5

Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty \) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\).

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1

Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \) và \(\lim {{\rm{v}}_n} =  \pm \infty \) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) được cho trong bảng sau:

Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (ảnh 1)

Quy tắc 2

Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \) và \(\lim {{\rm{v}}_n} = L \ne 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) được cho trong bảng sau:

Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (ảnh 2)

Quy tắc 3

Nếu \(\lim {u_n} = L \ne 0\) và \(\lim {{\rm{v}}_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n} < 0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) được cho trong bảng sau:

Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (ảnh 3)

B. Các dạng toán về giới hạn dãy số

Dạng 1. Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức

Câu 1: \(\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right)\) bằng

A. 0 .

B. 1 .

C. \( - \infty \).

D. \( + \infty \).

Đáp án D.

Lời giải

Ta có: \({n^3} - 2n + 1 = {n^3}\left( {1 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)\).

Vì \(\lim {n^3} =  + \infty \) và \(\lim \left( {1 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1 > 0\)

 nên theo quy tắc \(2,\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right) =  + \infty \)

Câu 2: \(\lim \left( {5n - {n^2} + 1} \right)\) bằng

A. \( + \infty \).

B. \( - \infty \).

C. 5 .

D. \( - 1\).

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có \(5n - {n^2} + 1 = {n^2}\left( { - 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\).

Vì \(\lim {n^2} =  + \infty \) và \(\lim \left( { - 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) =  - 1 < 0\)

nên \(\lim \left( {5n - {n^2} + 1} \right) =  - \infty \) (theo quy tắc 2 ).

Câu 3: \(\lim {u_n}\), với \({u_n} = \frac{{5{n^2} + 3n - 7}}{{{n^2}}}\) bằng:

A. 0 .

B. 5 .

C. 3 .

D. \( - 7\).

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {\frac{{5{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{{3n}}{{{n^2}}} - \frac{7}{{{n^2}}}} \right)\\ = \lim \left( {5 + \frac{3}{n} - \frac{7}{{{n^2}}}} \right) = 5\end{array}\).

Câu 4: \(\quad \lim {u_n}\), với \({u_n} = \frac{{2{n^3} - 3{n^2} + n + 5}}{{{n^3} - {n^2} + 7}}\) bằng

A. \( - 3\).

B. 1 .

C. 2 .

D. 0 .

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho \({n^3}\) ( \({n^3}\) là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được: \({u_n} = \frac{{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}}{{1 - \frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^3}}}}}\).

Vì \(\lim \left( {2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}} \right) = 2\) và

 \(\lim \left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^3}}}} \right) = 1 \ne 0\)

nên \(\lim \frac{{2{n^3} - 3{n^2} + n + 5}}{{{n^3} - {n^2} + 7}} = \frac{2}{1} = 2.\)

Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \frac{{{n^3} + 2n + 1}}{{{n^4} + 3{n^3} + 5{n^2} + 6}}\) bằng

A. 1 .

B. 0 .

C. \( + \infty \).

D. \(\frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho \({n^4}\) ( \({n^4}\) là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^3} + 2n + 1}}{{{n^4} + 3{n^3} + 5{n^2} + 6}}\\ = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{3}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{6}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0.\end{array}\)

Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}}\), bằng

A. \(\frac{3}{2}\).

B. 0 .

C. \( + \infty \).

D. 1 .

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ( \({n^2}\) là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức ), ta được \({u_n} = \frac{{3{n^3} + 2n - 1}}{{2{n^2} - n}} = \frac{{3n + \frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{1}{n}}}\).

Vậy \(\lim {u_n} = \lim \left( {\frac{{3n}}{2}} \right) =  + \infty \).

Ví dụ 7: \(\lim \frac{{\sin (n!)}}{{{n^2} + 1}}\) bằng

A. 0 .

B. 1 .

C. \( + \infty \).

D. 2 .

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\left| {\frac{{\sin (n!)}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{1}{{{n^2} + 1}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^2} + 1}} = 0\) nên chọn đáp án \({\bf{A}}\).

Ví dụ 8: \(\lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n(n + 1)}}\) bằng

A. \( - 1\).

B. 1 .

C. \( + \infty \).

D. 0 .

Chon D.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n(n + 1)}}} \right| = \frac{1}{{n(n + 1)}} < \frac{1}{{n \cdot n}} = \frac{1}{{{n^2}}}\)

 mà \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên suy ra \(\lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n(n + 1)}} = 0\)

Ví dụ 9: Tính giới hạn \(I = \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  - n} \right)\)

A. \(I = 1\).

B. \(I =  - 1\).

C. \(I = 0\).

D. \(I =  + \infty \).

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  - n} \right)\\ = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  + n}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \lim \frac{{\left( {{n^2} - 2n + 3} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  + n}}\\ = \lim \frac{{ - 2n + 3}}{{\sqrt {{n^2} - 2n + 3}  + n}}\\ = \lim \frac{{ - 2 + \frac{3}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}  + 1}}\\ = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 1  + 1}} =  - 1\end{array}\).

Ví dụ 10: \(\lim \left( {n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 3n + 2}}} \right)\) bằng:

A. \( + \infty \).

B. \( - \infty \).

C. \( - 1\).

D. 0 .

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\lim \left( {n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 3n + 2}}} \right) = \lim n\left( {1 - \sqrt[3]{{8 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)\).

Vì \(\lim n =  + \infty ,\lim \left( {1 - \sqrt[3]{{8 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right) = 1 - \sqrt[3]{8} =  - 1 < 0\)

nên \(\lim \left( {n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 3n + 2}}} \right) =  - \infty \).

Tài liệu có 130 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống