Ta có thể thấy ngay rằng các khẳng định A và C đều đúng.

Ta có

Mặt khác ta có

Từ đó ta suy ra

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH.

Vậy D là khẳng định sai.

Đường thẳng AB đi qua điểm B(3;-5;2) và có vectơ chỉ phương là AB→ . Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

Từ giả thiết suy ra

Mặt khác đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2+ 4t, y = -1, + 5t, z = 1 + 7t .

Vậy đáp án đúng là B

Gọi A = d ∩ d₂ . Ta có A ∈ d₂ => A(-1; a; a+ 1).

Theo giả thiết:

Thay vào (*) ta được :

-1.3 + (a - 1).1 + a.1 = 0 <=> 2a - 4 = 0 <=> a = 2 <=> u_d→ = MA→ = (-1; 1; 2)

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

Vậy đáp án đúng là A.

Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :

Đặt z=t, thay vào hệ trên ta được :

Vậy đáp án đúng là B.

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương là u₁→ = (4; -6; -8) ;

đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(7; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là u₂→ = (-6; 9; 12) .

Do hai vectơ u₁→ và u₂→ cùng phương nên các đáp án A và C là sai.

Thay tọa độ điểm M₁ vào d₂ , ta thấy :

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song.

Vậy đáp án B là đúng

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là:

Vậy khẳng định D là khẳng định sai.

Cách 1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ.

Ta có: H ∈ Δ => H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t)

<=> 6t - 6 = 0 <=> t = 1 => H(2; 3; 3)

Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là:

Vậy đáp án đúng là C

Cách 2. Δ đi qua điểm A(1 ;2 ;1) và có vectơ chỉ phương là

Ta có:

Ta có d₁ đi qua điểm M₁(7; 3; 9) và có vectơ chỉ phương là u₁→ = (1; 2; 1); d₂ đi qua điểm M₂(3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u₂→ .

Bán kính của mặt cầu (S) là :

Vậy đáp án đúng là B.

Ta có:

Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại điểm E. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại F. Do AD là đường phân giác trong của tam giác ABC nên ta suy ra AEDF là hình thoi.

Đặt AE=AF=k. Ta có:

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD. Từ đó suy ra C là khẳng định đúng.

Ta cũng lưu ý rằng khẳng định A sai, do tam giác ABC không cân tại đỉnh A.

Đường thẳng AB đi qua B(3; -5; 2) và VTCP AB→(2; -3; 2) có phương trình tham số là:

Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u→(2; -3; 2)

Đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng ∆ nên có vecto chỉ phương là u→(2; -3; 2). Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n_p→(1; -2; 3) là:

Vì đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vecto chỉ phương là u_d→ = n_p→(1; -2; 3) . Phương trình chính tắc của d:

Câu 17: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2;1;-3) và vuông góc với hai đường thẳng:

B. d: x = 2 + t, y = 1 - 9t, z = -3 - 3t

C. d: x = -2 + t, y = -1 - 9t, z = 3 - 3t

D. d: x = 2 + t, y = 1 + 9t, z = -3 -3t

Mặt khác d đi qua điểm M(2 ;1 ;-3).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

x = 2 + t, y = 1 - 9t, z = -3 - 3t

Câu 18: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(-2;3;1), vuông góc với trục Ox, đông thời d song song với mặt phẳng: (P): x + 2y - 3z = 0

A. d: x = 2, y = -3 + 3t, z = -1 + 2t   C. d: x = -2, y = 3 + 3t, z = 1 + 2t

B. d: x = -2, y = 3 - 3t, z = 1 + 2t   D. Đáp án khác

Vì d vuông góc với trục Ox, đồng thời d song song với mặt phẳng nên ta có:

Mặt khác d đi qua điểm A(-2 ;3 ;1). Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Câu 19: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm , với m là tham số, và song song với hai mặt phẳng (Oxy), (Oxz). Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Tồn tại m để d đi qua gốc tọa độ

B. d có một vectơ chỉ phương là: u→ = (1; 0; 0)

C. Phương trình chính tắc của d là: x = t, y = -3, z = 4

D. Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng: (P): y + 3 = 0, (Q): z - 4 = 0

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): x - 3y - 2z + 1 = 0 . Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Hai vectơ (1;1;1) và (1;-3;-2) đều vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d

B. Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2 + t, y = -1 + 3t, z = 1 - 4t

C. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Câu 22: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P): x + 2y - z + 1 = 0, (Q): x + y + 2z + 3 = 0

A. d: x = -5 - 5t, y = 2 + 3t, z = t    C. d: x = -5 + 5t, y = 2 + 3t, z = t

B. d: x = -5 - 5t, y = 2 - 3t, z = t    D. d: x = 5t, y = 3 - 3t, z = -t

Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :

Đặt z = t, thay vào hệ trên ta được :

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P): x + y - z + 3 = 0, (Q): 2x - y + 6z - 2 = 0. phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Câu 24: Cho tam giác ABC có A(1; 3; 5), B(-4; 0; -2), C(3; 9; 6) . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Tọa độ của điểm G là (0;4;3)

B. AG ⊥ BC

C. Phương trình tham số của đường thẳng OG là: x = 0, y = 4t, z = 3t

D. Đường thẳng OG nằm trong hai mặt phẳng: (P): x = 0, (Q): 3y - 4z = 0

Câu 25: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), vuông góc và cắt đường thẳng Δ: x = 1 - 4t, y = t, z = -1 + 4t

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là u→ ; cho đường thẳng d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương là u'→ thỏa mãn [u→, u'→].MM'→ = 0 . Trong những kết luận dưới đây, kết luận nào sai?

A. d và d’ chéo nhau   C. d và d’ có thể cắt nhau

B. d và d’ có thể song song với nhau   D. d và d’ có thể trùng nhau

Câu 27: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

A. Cắt nhau   B. song song   C. chéo nhau   D. trùng nhau

Câu 28: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

A. Cắt nhau   B. song song   C. chéo nhau   D. trùng nhau

Hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đã cho lần lượt là:

Câu 29: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

A. Cắt nhau   B. song song   C. chéo nhau   D. trùng nhau

Câu 30: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau chéo nhau :

d₁: x = 1 + at, y = t, z = -1 + 2t, d₂: x = 1 - t', y = 2 + 2t', z = 3 - t'

A. a > 0    B. a ≠ -4/3   C. a ≠ 0    D. a = 0

Hai đường thẳng d₁, d₂ lần lượt đi qua hai điểm M₁(1; 0; -1), M₂(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương lần lượt là

Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi :

⇔ -5.0 + (a - 2).2 + (2a + 1).4 ≠ 0 ⇔ 10a ≠ 0 ⇔ a ≠ 0

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau vuông góc :

d₁: x = 1 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + at, d₂: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t

A. a=-2   B. a=2   C. a ≠ 2    D. Không tồn tại a

Câu 32: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = 1 - t, z = 1 - t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là:

A. d ⊂ (P)   B. cắt nhau   C. song song   D. Đáp án khác

Câu 33: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 2 + 4t, y = 3 + t, z = -5t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là :

A. d ⊂ (P)   B. cắt nhau   C. song song   D. Đáp án khác

Đường thẳng d đi qua điểm M(2 ;3 ;0) và có vectơ chỉ phương là u_d→ = (4; 1; -5), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là u_P→ = (1; 1; 1). Ta có :

Suy ra đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Câu 34: Vị trí tương đối của đường thẳng

và mặt phẳng (P): x + y + z - 10 = 0 là :

A. d ⊂ (P)   B. cắt nhau    C. song song   D. Đáp án khác

Đường thẳng d đi qua A(1 ; 2 ; 0) ; có vecto chỉ phương là u_d→(5; 7; 6)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n_p→(1; 1; 1)

Ta có: u_d→.n_p→ = 5.1 + 7.1 + 6.1 = 18

Suy ra: đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) .

Câu 35: Biết rằng đường thẳng

cắt mặt phẳng (P) : x + y + z - 10 = 0 tại điểm M. Tọa độ điểm M là :

* Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số: d đi qua A(1 ; -2 ; 0), vecto chỉ phương (2 ; 1 ; 3):

* Gọi giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

M(1 + 2t; -2 + t; 3t).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

Câu 36: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 1 + at và mặt phẳng (P): 2x + y + z + b = 0 . Tìm a và b để đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)

A. a = 1; b = -5   C. a = -1, b = -5

B. a = -1, b = 5   D. Không tồn tại a, b thỏa mãn

Câu 37: Trong không gian Oxyz, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm M(5;2;3) trên mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 là:

A. H₁(1; -1; -1)   B. H₂(9; 6; -5)   C. H₃(1; 0; -2)   D. Đáp án khác

Mặt phẳng (P) có VTPT (2; 2; -1)

*Phương trình đường thẳng d đi qua M(5;2;3) vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận (2; 2; -1) làm vecto chỉ phương: 

*Khi đó, hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) gọi điểm đó là A(5 + 2t; 2 + 2t; 3 - t) .

Thay tọa độ điểm A lên phương trình mặt phẳng (P) ta được:

2(5 + 2t)+ 2 (2 + 2t) – (3 – t) + 1 =0

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ; x = 1 + t, y = 2 + t, z = 1 + 2t và cho điểm M(2;1;4). Hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ là:

A. H₁(1; 2; 1)    B. H₂(0; 1; -1)   C. H₃(2; 3; 3)   D. Đáp án khác

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ . Ta có :

H ∈ Δ => H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t)

u_Δ→ = (1; 1; 2), MH→ = (1- t; t + 1; 2t - 3)

MH ⊥ Δ <=> u_Δ→.MH→ = 0 <=> 1.(t - 1) + 1.(t + 1) + 2(2t - 3) = 0

<=> 6t - 6 = 0 <=> t = 1 => H(2; 3; 3)

Câu 39: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(3;4;1) đến trục Oz bằng:

A. 1   B. 5   C. √26   D. Đáp án khác

Hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oz là điểm H(0 ;0 ;1). Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng Oz là :

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(0; 3; 4) . Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng OA bằng:

A. 5   B. 10   C. 50   D. Đáp án khác

Đường thẳng OA đi qua điểm O(0 ;0 ;0) và có vectơ chỉ phương là OA→ = (2; 0; 0). Ta có:

Câu 41: Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng

Ta có d₁ đi qua điểm M₁(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương là

d₂ đi qua điểm M₂ = (3; 1; -4) và có vectơ chỉ phương là

Ta có hai vectơ u₁→ và u₂→ cùng phương. Mặt khác điểm M₁(1; 2; 3) không thuộc đường thẳng d₂ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ song song. Ta có

Suy ra d(d₁, d₂) = d(M₁, M₂)

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 -2t, z = -3 . Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (Oxy), song song với d sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng d và Δ đạt giá trị nhỏ nhất

A. d: x = 1 + t, y = 2 -2t, z = 0   C. d: x = t, y = 2 - 2t, z = -3

B. d: x = 1 + t, y = -2t, z = -3   D. d: x = 1, y = 2, z = -3 + t

*Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Để khoảng cách giữa hai đường thẳng d và ∆ nhỏ nhất thì ∆ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (Oxy) và mp (Q).

* Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 có VTPT n_Oxy→ = (0; 0; 1) .

Đường thẳng d đi qua A(1;2; -3) và có VTCP u_d→ = (1; -2; 0)

Suy ra, VTPT của (Q) là n_Q→ = [u_d→;n_Oxy→] = (2; 1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 2(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z + 3) = 0

Hay 2x + y -4 =0

* Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (Oxy) và (Q). Tập hợp các điểm thuộc ∆ là nghiệm hệ phương trình: 

* Đặt x = 1 + t thay vào (1) ta được: y = 4 - 2x = 4 - 2(1 + t) = 2 - 2t

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: 

Câu 43: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sau đây

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

và mặt phẳng 2x - 2y + z + 3 = 0. Tính khoảng cách giữa d và (P)

A. 0   B. 3   C. 1   D. 9

Câu 45: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của mặt cầu (S) có tâm là I(1;0;-1) và tiếp xúc với đường thẳng

A. (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 81   C. (x + 1)² + y² + (z - 1)² = 81

B. (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 9    D. (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 3

Đường thẳng d đi qua điểm M(6 ;1 ;0) và có vectơ chỉ phương là u_d→ = (4; -1; -1). Ta có :

Do đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) nên (S) có bán kính là :

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là : (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 9

Câu 46: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của mặt cầu (S) có tâm là I(1;0;-1) và cắt đường thẳng

theo một dây cung AB có độ dài bằng 8

A. (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 16    C. (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 25

B. (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 5   D. (x + 1)² + y² + (z - 1)² = 25

Đường thẳng d đi qua điểm M(-2 ;3 ;2) và có vectơ chỉ phương là u_d→ = (-4; 1; 1) Ta có :

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là :

Do d cắt (S) theo dây cung AB có độ dài bằng 8 nên ta có:

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 25

Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; -2; -4), M(1; 0; 0) . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất

Ta có:

AM→ (3; 2; 4)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n_p→ (1; 1; 1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Ta có: d(A; d) = AH ≤ AM = √29

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H trùng M, nghĩa là d vuông góc với AM.

Từ đó ta được

Vậy d có phương trình là:

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(8; 4; -5) và mặt phẳng 2x + 2y - z + 1 = 0 . Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM² + BM² đạt giá trị nhỏ nhất

A. M(1; -2; -1) B. M(9; 6; -5) C. M(1; -2; -5) D. Đáp án khác

Chọn đáp án A

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x + 1)² + (y - 4)² + (z + 3)² = 36 . Số mặt phẳng (P) chứa trục Ox và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;4;-3) và có bán kính R = 6. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox. Ta có H(-1;0;0) và IH=5.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P). Ta có

d(I; (P)) = IK ≤ IH = 5 < R = 6

Do đó mặt phẳng (P) luôn cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Vậy không tồn tại mặt phẳng (P) chứa Ox và tiếp xúc với (S)

Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 0), B(1; 2; 3), C(2; 3; 1). Gọi D là chân đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. AD ⊥ BC

B. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là: AB→ + AC→

C. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là:

D. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là: u_AD→ = (1; 1; -2)

Ta có:

Ta thấy tam giác ABC cân tại đỉnh A. Do đó, AD đồng thời là đường cao của tam giác ABC nên các khẳng định A, B và C đều đúng.

Vậy khẳng định D sai.