Lời giải:

Ta có x⁴ – x³y + x²y² – xy³

= x⁴ + x²y² – (x³y + xy³)

= x²(x² + y²) – xy(x² + y²)

= (x² + y²)(x² – xy) = (x² + y²)x(x – y)

Nên (x⁴ – x³y + x²y² – xy³) : (x² + y²)

= (x² + y²)x(x – y) : (x² + y²) = x(x – y)

Đáp án cần chọn là: B

Phần dư của phép chia đa thức x⁴ + ax² + 1 chia hết cho x² + 2x + 1 là

R = (-4 – 2a)x – a – 2

Để phép chia trên là phép chia hết thì R = 0 ⇔ (-4 – 2a)x – a – 2 = 0 với mọi x

Đáp án cần chọn là: A

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

(x³ – 7x + 3 – x²) : (x – 3);

Lời giải:

(x³ – 7x + 3 – x²) : (x – 3)

Sắp xếp lại: (x³ – x² – 7x + 3 ) : (x – 3)

Bài 2: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y);

b) (125x³ + 1) : (5x + 1);

Lời giải:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y) = (x + y)² : (x + y) = x + y.

b) (125x³ + 1) : (5x + 1) = [(5x)³ + 1] : (5x + 1)

= (5x)² – 5x + 1 = 25x² – 5x + 1.

Bài 3: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

(2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2).
Lời giải:

(2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2)

Sắp xếp lại: (2x⁴ – 3x² – 3x² + 6x – 2) : (x² – 2)

Bài 4: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:
(x² – 2xy + y²) : (y – x).
Lời giải:

(x² – 2xy + y²) : (y – x) = (x – y)² : [-(x – y)] = – (x – y) = y – x

Hoặc (x² – 2xy + y²) : (y – x) = (y² – 2xy + x²) : (y – x)

= (y – x)² : (y – x) = y – x.

Bài 5: Cho hai đa thức A = 3x⁴ + x³ + 6x – 5 và B = x²+ 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Lời giải:

Vậy 3x⁴ + x³ + 6x – 5 = (x²+ 1)(3x² + x – 3) + 5x – 2

Bài 6: Làm tính chia: (25x⁵ – 5x⁴ + 10x²) : 5x².

Lời giải:

(25x⁵ – 5x⁴ + 10x²) : 5x² = (25x⁵ : 5x² ) – (5x⁴ : 5x² ) + (10x² : 5x²) = 5x3 – x2 + 2

Bài 7: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

A = 15x⁴ – 8x³ + x²

^{B = $\frac{1}{2}$x2}

Lời giải:

Ta có 15x⁴ ; 8x³ ; x² chia hết cho $\frac{1}{2}$x² nên đa thức A chia hết cho B.

Bài 8: Làm tính chia:

(2x⁴ + x³ – 3x² + 5x – 2) : (x² – x + 1).

Lời giải:

Khi đó :(2x⁴ + x³ – 3x² + 5x – 2) = (x² – x + 1)(2x³ + 3x – 2).

Bài 9: Tính nhanh:

a) (4x² – 9y²) : (2x – 3y);

b) (27x³ – 1) : (3x – 1);

a) (4x² – 9y²) : (2x – 3y) = [(2x)² – (3y)²] : (2x – 3y) = (2x –3y)(2x +3y) : (2x –3y) = 2x + 3y;

b) (27x³ – 1) : (3x – 1) = [(3x)³ – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) [(3x)² + 3x + 1] : (3x – 1) = 9x²+ 3x + 1

Bài 10: Tìm số a để đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2

Lời giải:

A = x² – 2x + 1

B = 1 – x

a) (x³ – 7x + 3 – x²) : (x – 3);          

b) (2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2).

Bài 5: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y);                      

b) (125x³ + 1) : (5x + 1);

c) (x² – 2xy + y²) : (y – x).

Bài 6: Tìm các số nguyên n thoả mãn giá trị của biểu thức sau:

n³ + 6n² - 7n + 4 sẽ chia hết cho biểu thức n - 2.

Bài 7: Kết quả của phép tính (8x³ − 1) : (1 − 2x) là?

Bài 8: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi thực hiện phép chia:

a. (12x² – 14x + 3 – 6x³ + x⁴) : (1 – 4x + x²)

b. (x⁵ – x² – 3x⁴ + 3x + 5x³ – 5) : (x² – 3x + 5)

Bài 9: Tìm a để đa thức x⁴ – x³ + 6x² - x + a chia hết cho đa thức x² – x + 5.

Bài 10: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 3n³ + 10n² – 5 chia hết cho giá trị của biểu thức 3n + 1.

B. Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp

1. Phép chia hết

- Phép chia hết là phép chia có đa thức dư bằng 0.

Quy tắc chia:

+ Sắp xếp các đa thức theo thứ tự giảm dần của biến.

+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được thương 1.

+ Nhân thương 1 với đa thức chia và lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.

+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử cao nhất đa thức chia ta được thương 2.

+ Tiếp tục lặp lại các bước trên đến khi nhận được hiệu bằng 0.

Ví dụ 1: Làm tính chia: (x³ – x²  – 5x – 3) : (x – 3).

Lời giải:

Ta có:

Vậy (x³ – x² – 5x – 3) : (x – 3) = x² + 2x + 1.

2. Phép chia có dư

- Phép chia có dư là phép chia có đa thức dư khác 0.

Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (R được gọi là dư trong phép chia A cho B).

Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.

Ví dụ 2: Làm tính chia: (3x³ + 2x² + 5x – 3) : (x² + 1).

Lời giải:

Ta có:

Vậy (3x³ + 2x² + 5x – 3) : (x² + 1) = 3x + 2 (dư 2x – 5)

Hay 3x³ + 2x² + 5x – 3 = (x² + 1).(3x + 2) + 2x – 5.