Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 4\)

Giải

Tìm cách giải. Ta lần lượt kiểm tra với \(x =  \pm 1;x =  \pm 2;x =  \pm 4\), ta thấy \(f\left( 2 \right) = 0\).

Đa thức \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x = 2\), do đó khi phân tích thành nhân tử, \(f\left( x \right)\) chứa nhân tử \(x - 2\).

Trình bày lời giải

Ta có:

 \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 4\\ = \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x} \right) + \left( {2x - 4} \right)\end{array}\)

\( = {x^2}\left( {x - 2} \right) + x\left( {x - 2} \right) + 2\left( {x - 2} \right)\)

\( = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)\)

Nhận xét. Nếu đa thức \(f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}\) có nghiệm nguyên là \(x = {x_0}\) thì \({x_0}\) là một ước của hệ số tự do \({a_0}\) khi phân tích \(f\left( x \right)\) ra nhân tử thì \(f\left( x \right)\) có chứa nhân tử \(x - {x_0}\). Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên nhẩm lấy một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích thành nhân tử.

2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^4} + 324\)

Giải

\({x^4} + 324 = {x^4} + 36{x^2} + 324 - 36{x^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{x^2} + 18} \right)^2} - {\left( {6x} \right)^2}\\ = \left( {{x^2} + 18 - 6x} \right)\left( {{x^2} + 18 - 6x} \right)\end{array}\)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^5} + {x^4} + 1\)

Giải

\({x^5} + {x^4} + 1 = {x^5} + {x^4} + {x^3} - {x^3} + 1\)

\( = {x^3}\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

\( = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - x + 1} \right)\)

Nhận xét. Với kỹ thuật trên chúng ta phân tích thành nhân tử được: \({x^{3k + 2}} + {x^{3n + 1}} + 1\)

3. Phương pháp đổi biến

Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử, sau khi phân tích thành nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(f\left( x \right) = x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 10} \right) + 128\)

Giải

Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 10x} \right)\left( {{x^2} + 10x + 24} \right) + 128\)

Đặt \({x^2} + 10x + 12 = y\), đa thức trở thành:

\[f\left( y \right) = \left( {y - 12} \right)\left( {y + 12} \right) + 128 = {y^2} - 16 = \left( {y - 4} \right)\left( {y + 4} \right)\]

Suy ra:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 10x + 8} \right)\left( {{x^2} + 10x + 16} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} + 10x + 8} \right)\end{array}\)

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) - 15\)

Giải

Tìm cách giải. Bài toán có dạng \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) + m\) với \(a + d = b + c\). Ta có thể đặt \(y = \left( {x + a} \right)\left( {x + d} \right)\) hoặc \(y = \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\) hoặc \(y = {x^2} + \left( {a + d} \right)x\). Khi đó ta phân tích với đa thức biến y.

Trình bày lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - 15\\ = \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) - 15\end{array}\)

Đặt \(y = {x^2} + 5x + 9\).

Khi đó đa thức có dạng:

 \(y\left( {y + 2} \right) - 15 = {y^2} + 2y - 15 = \left( {y + 5} \right)\left( {y - 3} \right)\)

Từ đó suy ra:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) - 15\\ = \left( {{x^2} + 5x + 9} \right)\left( {{x^2} + 5x + 1} \right)\end{array}\)

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(A = \left( {3x + 2} \right)\left( {3x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {9x + 10} \right) + 24{x^2}\)

Giải

Tìm cách giải. Nếu khai triển ngoặc thì bài toán trở lên khá phức tạp và có thể dẫn đển sai lầm. Quan sát kĩ đề bài chúng ta nhận thấy hệ số của bốn ngoặc có đặc điểm: \(3.3 = 1.9\) và \(2.\left( { - 5} \right) = \left( { - 1} \right).10\), do vậy chúng ta nghĩ đển việc nhóm hai ngoặc lại và đặt biến phụ nhằm đưa về bài toán đơn giản hơn.

Trình bày lời giải

Ta có:

\(A = \left( {3x + 2} \right)\left( {3x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {9x + 10} \right) + 24{x^2}\)

\( = \left( {9{x^2} - 9x - 10} \right)\left( {9{x^2} + x - 10} \right) + 24{x^2}\)

Đặt \(y = 9{x^2} - 9x - 10\). Đa thức có dạng:

\(A = y\left( {y + 10x} \right) + 24{x^2}\)

\(\begin{array}{l} = {y^2} + 10xy + 24{y^2}\\ = {y^2} + 4xy + 6xy + 24{y^2}\\ = \left( {y + 4x} \right)\left( {y + 6x} \right)\end{array}\)

Từ đó suy ra:

\(A = \left( {9{x^2} - 3x - 10} \right)\left( {9{x^2} - 5x - 10} \right)\)

Nhận xét. Cách giải trên có thể dùng cho các đa thức có dạng:

\(P\left( x \right) = \left( {{a_1}x + {b_1}} \right)\left( {{a_2}x + {b_2}} \right)\left( {{a_3}x + {b_3}} \right)\left( {{a_4}x + {b_4}} \right) + m{x^2}\)

trong đó \({a_1}{a_2} = {a_3}{a_4};{b_1}{b_2} = {b_3}{b_4}\)

Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(B = 2{x^4} + 3{x^3} - 9{x^2} - 3x + 2\)

Giải

Tìm cách giải. Những bài toán có dạng: \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + kax + {k^2}{b^2}\) với \(k = 1\) hoặc \(k =  - 1\).

Ta đặt \(y = {x^2} + k\), rồi biến đổi biểu thức về dạng \(a{x^2} + bxy + m{y^2}\)

Trình bày lời giải

Đặt \(y = {x^2} - 1 \Rightarrow {y^2} = {x^4} - 2{x^2} + 1\). Biến đổi biểu thức, ta có:

\(\begin{array}{l}B = 2\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + 3{x^3} - 3x - 5{x^2}\\ = 2{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 3x\left( {{x^2} - 1} \right) - 5{x^2}\end{array}\)

Từ đó, biểu thức có dạng:

\(\begin{array}{l}B = 2{y^2} + 3xy - 5{x^2}\\ = 2{y^2} - 2xy + 5xy - 5{x^2}\\ = \left( {y - x} \right)\left( {2y + 5x} \right)\end{array}\)

Từ đó suy ra:

\(B = \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {2{x^2} + 5x - 2} \right)\).

4. Phương pháp đồng nhất hệ số

Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 14x + 3\)

Giải

Tìm cách giải. Các số \( \pm 1; \pm 3\) không phải là nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) nên \(f\left( x \right)\) không có nghiệm nguyên, \(f\left( x \right)\) cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nếu \(f\left( x \right)\) phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:

\(\left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right)\), với \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\).

Khai triển dạng này ra, ta được đa thức:

\({x^4} + \left( {a + c} \right){x^3} + \left( {ac + b + d} \right){x^2} + \left( {ad + bc} \right)x + bd\).

Đồng nhất đa thức này với \(f\left( x \right)\) ta được hệ điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 6\\ac + b + d = 12\\ad + bc =  - 14\\bd = 3\end{array} \right.\) .

Xét \(bd = 3\), với \(b,d \in \mathbb{Z},b \in \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\) .

Với \(b = 3\) thì \(d = 1\), hệ điều kiện trở thành:

 \(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 6\\ac = 8\\a + 3c =  - 14\end{array} \right.\)

Từ đó tìm được: \(a =  - 2;c =  - 4\).

Vậy \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\) .

Trình bày lời giải

\(f\left( x \right) = {x^4} - 6{x^3} + 12{x^2} - 14x + 3\)

\( = \left( {{x^4} - 4{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {2{x^3} + 8{x^2} - 2x} \right) + \left( {3{x^2} - 12x + 3} \right)\)

\( = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 1} \right) - 2x\left( {{x^2} - 4x + 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\)

\( = \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\)

5. Phương pháp xét giá trị riêng của các biến

Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(P = {x^2}\left( {y - z} \right) + {y^2}\left( {z - x} \right) + {z^2}\left( {x - y} \right)\)

Giải

Nhận xét. Nếu thay \[x\] bởi y thì \(P = 0\), nên P chia hết cho \(x - y\).

Hon nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi (ta nói đa thức P có dạng hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho \(x - y\) thì P cũng chia hết cho \(y - z,z - x\).

Từ đó: \(P = a\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\); trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích \(\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến.

Ta có:

 \(\begin{array}{l}P = {x^2}\left( {y - z} \right) + {y^2}\left( {z - x} \right) + {z^2}\left( {x - y} \right)\\ = a\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\end{array}\)

(*) đúng với mọi \(x,y,z \in \mathbb{R}\) nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.

Chú ý. Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh \(P = 0\) là được.

Chẳng hạn, chọn \(x = 2;y = 1;z = 0\) thay vào đắng thức (*),ta tìm được \(a =  - 1\)

Vậy:

 \(\begin{array}{l}P = {x^2}\left( {y - z} \right) + {y^2}\left( {z - x} \right) + {z^2}\left( {x - y} \right)\\ =  - \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\end{array}\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {x - z} \right)\)

Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(Q = a{\left( {b + c - a} \right)^2} + b{\left( {c + a - b} \right)^2} + c{\left( {a + b - c} \right)^2} + \left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\)

Giải

Nhận xét. Với \(a = 0\) thì \(Q = 0\), cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên \(Q = k.abc\).

Chọn \(a = b = c = 1\) được \(k = 4\).

Vậy \(Q = 4abc\).