Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản, tài liệu bao gồm 73 trang, các câu trắc nghiệm và có đáp án chi tiết. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản

Nội dung gồm có

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX

V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC A. TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1. Giải các phương trình sau

a. \({\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\)

b. \(\frac{{\left( {1 - 2\sin x} \right)\cos x}}{{\left( {1 + 2\sin x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)}} = \sqrt 3 \)

c. \(\sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right)\)

d. \(\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} = 0\)

Giải

a. \(\begin{array}{l}{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow 1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {s + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

b. \(\frac{{\left( {1 - 2\sin x} \right)\cos x}}{{\left( {1 + 2\sin x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)}} = \sqrt 3 \)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{sinx \ne  - \frac{1}{2}}\\{sinx \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x \ne \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

Khi đó :

\[\begin{array}{l}\frac{{\left( {1 - 2\sin x} \right)\cos x}}{{\left( {1 + 2\sin x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)}} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = 1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} + 2\sin x - 2{\sin ^2}x\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} = \sin 2x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} =  - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow x = k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

c.

 \(\begin{array}{l}\sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{{\sin 3x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}}}{2} + \sqrt 3 \cos 3x = 2\cos 4x + \frac{{3\sin x - \sin 3x}}{2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3\sin x + \sin 3x + 2\sqrt 3 \cos 3x = 4\cos 4x + 3\sin x - \sin 3x\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin 3x + 2\sqrt 3 \cos 3x = 4\cos 4x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x = \cos 4x\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 4x = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 3x + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{4x =  - 3x - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k2\pi }}{7}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

d. \(\begin{array}{l}\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \cos 5x - \left( {\sin 5x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}} \right) - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}} = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 3 \cos 5x - \sin 5x = 2\sin x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x - \frac{1}{2}\sin 5x = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {5x + \frac{\pi }{6}} \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{5x + \frac{\pi }{6} = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. \(4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \sqrt 3 \sin 4x = 2\)

b. \(2\sqrt 2 \left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

c. \(\cos 2x = \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\)

d. \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 2\sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\cos x + 1\)

Giải

a.

\(\begin{array}{l}4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \sqrt 3 \sin 4x = 2\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right) + \sqrt 3 \sin 4x = 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3 + \left( {1 - 2{{\sin }^2}2x} \right) + \sqrt 3 \sin 4x = 2 \Leftrightarrow \cos 4x + \sqrt 3 \sin 4x =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 4x =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {4x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{4x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x =  - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

b. \(\begin{array}{l}2\sqrt 2 \left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2 + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 5 - 2\sqrt 2 ,\\{c^2} = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} = 11 - 6\sqrt 2 \end{array}\)

Do đó:

\[\begin{array}{l}\left( {11 - 6\sqrt 2 } \right) - \left( {5 - 2\sqrt 2 } \right) = 6 - 4\sqrt 2  = \sqrt {36}  - \sqrt {32}  > 0\\ \Rightarrow {c^2} > {a^2} + {b^2}\end{array}\]

Phương trình vô nghiệm

c. \(\begin{array}{l}\cos 2x = \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{6} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

d. \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 2\sqrt 3 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\cos x + 1 \Leftrightarrow \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \pi \\ \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \pi  + k2\pi  \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array}\)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. \(4\sin x\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) + 4\sqrt 3 \cos x\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) = \sqrt 2 \)

b. \(2\sin 4x + 16{\sin ^3}x.\cos x + 3\cos 2x = 5\)

c. \(1 + \frac{3}{8}\sin 4x = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\)

Giải

a. \(4\sin x\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) + 4\sqrt 3 \cos x\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 2\sqrt 3 \cos x\left[ {\cos \left( {2x + 2\pi } \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x + 2\sin x.\frac{1}{2} + 2\sqrt 3 \cos x.\cos 2x - 2\sqrt 3 \cos x.\frac{1}{2} = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt 3 \left( {\cos 3x + \cos x} \right) - \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

b. \(2\sin 4x + 16{\sin ^3}x.\cos x + 3\cos 2x = 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}16{\sin ^3}x\cos x = 4\cos x\left( {3\sin x - \sin 3x} \right)\\ = 6\sin 2x - 2.2\sin 3x.\cos x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 6\sin 2x - 2\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\\ = 4\sin 2x - 2\sin 4x\end{array}\)

Cho nên (1):

\(\begin{array}{l}2\sin 4x + 4\sin 2x - 2\sin 4x + 3\cos 2x = 5\\ \Leftrightarrow 4\sin 2x + 3\cos 2x = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{4}{5}\sin 2x + \frac{3}{5}\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = 1\\ \Leftrightarrow 2x - \alpha  = k2\pi  \Rightarrow x = \frac{\alpha }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Và: \(\cos \alpha  = \frac{3}{5};\sin \alpha  = \frac{4}{5}\)

c. \(1 + \frac{3}{8}\sin 4x = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\)

Do:

\(\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x\\ = 1 - \frac{3}{4}\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x\end{array}\)

Cho nên (c ) trở thành:

\(\begin{array}{l}1 + \frac{3}{8}\sin 4x = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x\\ \Leftrightarrow \cos 4x - \sin 4x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{4x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k\pi }}{2}}\\{x =  - \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. \(\sin 8x - \cos 6x = \sqrt 3 \left( {\sin 6x + \cos 8x} \right)\)

b. \(\cos 7x - \sin 5x = \sqrt 3 \left( {\cos 5x - \sin 7x} \right)\)

c. \(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\)

d. \(\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x - 2\cos 2x = 0\)

Giải

a. \(\begin{array}{l}\sin 8x - \cos 6x = \sqrt 3 \left( {\sin 6x + \cos 8x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 8x - \sqrt 3 \cos 8x = \sqrt 3 \sin 6x + \cos 6x\end{array}\)

Chia hai vế phương trình cho 2 ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 8x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 8x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 6x + \frac{1}{2}\cos 6x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {8x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {6x + \frac{\pi }{6}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x - \frac{\pi }{3} = 6x + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{8x - \frac{\pi }{3} =  - 6x + \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{14x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{7}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l}\cos 7x - \sin 5x = \sqrt 3 \left( {\cos 5x - \sin 7x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 7x + \sqrt 3 \sin 7x = \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x\end{array}\)

Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 7x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x + \frac{1}{2}\sin 5x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {7x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {5x - \frac{\pi }{6}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + \frac{\pi }{3} = 5x - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{7x + \frac{\pi }{3} =  - 5x + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{12x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{{72}} + \frac{{k\pi }}{6}}\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.\end{array}\)

c. \(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\)

Từ công thức nhân ba: \(\sin 9x = 3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x\)cho nên phương trình (c) viết lại :

\(\begin{array}{l}3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1\\ \Leftrightarrow \sin 9x + \sqrt 3 \cos 9x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {9x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3}k2\pi }\\{9x - \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9}}\\{x =  - \frac{\pi }{{27}} + \frac{{k2\pi }}{9}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

d. \(\begin{array}{l}\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x - 2\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x + \frac{1}{2}\sin 5x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {5x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos 2x\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{5x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{{30}} + \frac{{k2\pi }}{5}}\\{x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}}\end{array}} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1 . Giải các phương trình sau :

a. \(5\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = 3 + \cos 2x\)

b. \({\cos ^2}3x.\cos 2x - {\cos ^2}x = 0\)

c. \({\cos ^4}x + {\sin ^4}x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{3}{2} = 0\)

d. \(4.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\cos x + 3{\sin ^2}x = 6\sin x\)

Giải

a. \(5\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = 3 + \cos 2x\). Điều kiện: \(\sin 2x \ne  - \frac{1}{2}\)

Phương trình (a) trở thành :

$\begin{array}{l}\iff 5\left(\frac{\mathrm{s}\text{inx}+2\sin x.\sin 2x+\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x}\right)=3+\cos 2x\\ \iff 5\left(\frac{\mathrm{s}\text{inx}+\cos x-\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x}\right)=3+\cos 2x\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \frac{\mathrm{s}\text{inx}+\cos x+\sin 3x}{1+2\sin 2x}=\frac{\left(\mathrm{s}\text{inx}+\sin 3x\right)+\cos x}{1+2\sin 2x}\\ =\frac{2\sin 2x.\cos x+\cos x}{1+2\sin 2x}=\frac{\cos \left(1+2\sin 2x\right)}{1+2\sin 2x}=\cos x\end{array}$

Cho nên (a)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5\cos x = 2 + 2{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2}}\\{\cos x = 2 > 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\)