Chuyên đề Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit 2022 hay, chọn lọc

Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit thuộc chương trình Toán 12. Chuyên đề gồm 43 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 12.

Chuyên đề Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

Phần 1: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết

§ 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ

I – LÝ THUYẾT

    1.Lũy thừa với số mũ nguyên

   a/ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm

   +Định nghĩa: với a ≠ 0 ; n=0 hoặc n là một số nguyên âm; lũy thừa bậc n của a là số an an xác định bởi : a0=1; Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    + Chú ý:

   Các kí hiệu 00; 0n ( n nguyên âm ) không có nghĩa.

   Với a ≠ 0 và n nguyên ta có: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Người ta hay dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé.

    b/ Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

    Quy tắc tính

    + Định lí 1: Với a ≠ 0; b ≠ 0 và các số nguyên m; n ta có:

   1/ am.an=am+n

   2/ Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   3/ (am)n=am.n

   4/ (ab)n= an.bn

   5/ Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    So sánh các lũy thừa

    + Định lí 2: cho m; n là các số nguyên. Khi đó:

   - Nếu a > 1 thì Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12;

   - Nếu 0 < a < 1 thì Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12.

    Hệ quả 1:

   - Với mọi 0< a< b,và m là số nguyên thì:

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    Hệ quả 2: với a < b; n là số tự nhiên lẻ thì an < bn

    Hệ quả 3: với a; b là các số dương; n là một số nguyên khác 0 thì:

   an= bn khi và chỉ khi a=b.

   2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    a/ Căn bậc n

    + Định nghĩa:

   Với n nguyên dương; căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn=a

    + Chú ý:

   Với n lẻ và với mỗi số thực a có duy nhất một căn bậc n của a kí hiệu là Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12.

   -Với n chẵn:

   a > 0 Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 , căn có giá trị âm kí hiệu là Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12.

    Một số tính chất của căn bậc n

   - Với hai số không âm a ; b ; hai số nguyên dương m ; n và 2 số nguyên p ; q tùy ý, ta có:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   b/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

   Định nghĩa : Cho a là số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 ; trong đó m là số nguyên và n là số nguyên dương. . khi đó lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

§ 2 : Lũy thừa với số mũ thực

   1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

   Định nghĩa : cho a là 1 số thực dương và α là 1 số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ r1 ; r2...rn ..mà lim rn= α. Khi đó dãy số thực Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 có giới hạn xác định ( không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (rn) đã chọn ). Ta gọi giới hạn đó là lũy thừa của a với số mũ α ; kí hiệu là aα

   Vậy aα = Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 .

   Ghi nhớ :

   1/ khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

   2/ khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

   2. Công thức lãi kép

   Gửi tiền vào ngân hàng ; ngoài thể thức lãi đơn ( tức là tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì tiếp theo ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra) ; còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là :

Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

§ 3 : Logari

   1.Định nghĩa:

   Cho hai số dương a; b vớ i a ≠ 1. Số thực thỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab .

   Ta viết: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Chú ý:

   1/ Không có logarit của số 0 và số âm vì aα luôn dương với mọi α.

   2/ Cơ số của logarit phải dương và khác 1.

   3/ Theo định nghĩa logarit ta có:

   + loga1=0; logaa=1

   + logaaab=b với mọi số thực b.

    + Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   2.Các tính chất

   a/ so sánh hai logarit cùng cơ số.

   Định lí 1 : cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c.

   1/ Khi a> 1 thì logab>logac b>c.

   2/ khi 0<a<1 thì logab>logac b<c.

   Hệ quả :

   Cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c

   1/ khi a> 1 thì loga b> 0 khi b>1.

   2/ khi 0<a<1 thì log ab> 0 khi b<1

   3/ logab = log ac khi và chỉ khi b=c

   b/ Các quy tắc tính logarit

   Định lí 2 :

   Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    Hệ quả:

    Với a ; b>0 ; a khác 1 và số nguyên dương n ta có :

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   3. Đổi cơ số của logarit

    Định lí : Cho 3 số dương a ; b ; c với a ≠ 1 ; c ≠ 1, ta có

   • Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 hay logca.logab=logcb

   Hệ quả 1 : Với a ; c là hai số dương khác 1 ta có

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 hay logac.logca=1

    Hệ quả 2 : Với a là số dương khác 1 ; c là số dương và α ≠ 0 ta có :

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   4 . Logarit thập phân và ứng dụng

   Định nghĩa :

   Logarit cơ số 10 của 1 số dương x được gọi là logarit thập phân của x và kí hiệu là log x ( hoặc là lg x)

§4 : Số e và logarit tự nhiên

   1 . Lãi kép liên tục và số e

   Ta đã biết : khi gửi ngân hàng với số vốn ban đầu là A lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu về là A( 1+r) N

   Giả sử chia mỗi năm thàn h m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r thì lãi suất mỗi kì là r/ m và số tiền thu được sau N năm ( hay sau Nm kì) là Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Xét Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 ; giới hạn trên tồn tại và là 1 số vô tỉ có giá trị là 2,718281828..

   Được kí hiệu là e. Vậy : Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Từ đó suy ra lim Sm= AeNr.

   Thể thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục .

   Như vậy ; với số vốn ban đầu là A ; theo thể thức lãi kép liên tục ; lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là : S= AeNr

   Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.

   2. Logarit tự nhiên

   Định nghĩa : Lô garit cơ số e của một số dương a được gọi là logarit tự nhiên m ( hay logarit Nê-pe) của số a và được kí hiệu là lna.

   + logarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

§ 5 : HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

   1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit

   Định nghĩa :

   Giả sử a là số dương và khác 1.

   Hàm số dạng y= ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

   Hàm số dạng y= logax được gọi là hàm sỗ logarit cơ số a.

   2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ ; hàm sỗ logarit

   Định lí 1 :

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   3.Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

   a. Đạo hàm của hàm số mũ.

   Định lí 2

   a/ cho hàm số y= ax có đạo hàm tại mọi số thực x và

   (ax)’= ax. Lna

   Đặc biệt ( ex)’= ex

   b/ Nêú hàm số u= u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y= au(x) có đạo hàm trên J và

   ( au(x) )’= u’(x) .au(x) . lna

   Đặc biệt: (eu(x) )’= u’(x).eu(x)

   b. Đạo hàm của hàm số logarit.

   a. Hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi x > 0 và

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Đặc biệt Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y= logau(x) có đạo hàm trên J và

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Đặc biệt ta có: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Hệ quả

   a. Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thì:Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 với mọi x∈J.

   4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

    a.Hàm số mũ y= ax (a > 0; a ≠ 1).

    • Tập xác định: D = R.

   • Tập giá trị: T = (0; +∞).

   • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

   Có đồ thị:

   + Đi qua điểm (0;1)

   + Nằm phía trên trục hoành.

   +Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

   • Hình dạng đồ thị:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   b. Hàm số logarit y= logax (a > 0; a ≠ 1)

   • Tập xác định: D = (0; +∞).

    • Tập giá trị: T = R.

   • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

   • có đồ thị:

   + Đi qua điểm (1; 0)

   + Nằm ở bên phải trục tung

   +Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

   • Hình dạng đồ thị:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

§6: HÀM SỐ LŨY THỪA

    1.Khái niệm hàm số lũy thừa

   Hàm số có dạng y= xα với α là một hằng số tùy ý được gọi là hàm số lũy thừa.

   Nhận xét:

    Tập xác định của hàm số y= xα là:

   + D= R nếu α là số nguyên dương.

   + D= R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

   + D= (0; +∞) với α không nguyên.

   2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

   Định lí:

   a. Hàm số lũy thừa y= xα với mọi α có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và :

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương có đạo hàm trên J thì hàm số y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Chú ý

   a. đạo hàm của hàm số căn bậc n

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   ( với mọi x> 0 nếu n chẵn và với mọi x ≠ 0 nếu n lẻ).

   b. Nếu u= u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0 mọi x∈J khi n lẻ thì:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   4. Vài nét về sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa

Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12
A. Tập khảo sát: (0;+∞) A. Tập khảo sát: (0;+∞)
B. Sự biến thiên:

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    Giới hạn đặc biệt:

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Tiệm cận: Không có

B. Sự biến thiên:

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    Giới hạn đặc biệt:

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Tiệm cận:

   Trục là tiệm cận ngang.

   Trục là tiệm cận đứng.

C. Bảng biến thiên:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

C. Bảng biến thiên:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   D. Đồ thị:

Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1)

   Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ.

§7: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

   1.Phương trình mũ cơ bản:

   + Phương trình mũ cơ bản có dạng ax =m trong đó m là số đã cho.

   - Nếu m ≤ 0 thì phương trình ax =m vô nghiệm.

   - Nếu m > 0 thì phương trình ax= m có 1 nghiệm duy nhất x= logam. Nói cách khác

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   + Phương trình loarit cơ bản có dạng logax=m; trong đó m là số đã cho.

   - Với mỗi giá trị của m ; phương trình logax= m luôn có 1 nghiệm duy nhất x=am. Nói cách khác.

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   2. Một số phương pháp giải phương trình mũ

    a) Đưa về cùng cơ số:

    Với a > 0, a ≠ 1: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì :

   am= an khi và chỉ khi (a-1) (m-n)=0

    b) Logarit hoá:

    Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    c) Đặt ẩn phụ:

    • Dạng 1: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 , trong đó P(t) là đa thức theo t.

    • Dạng 2: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Chia 2 vế cho b2f(x), rồi đặt ẩn phụ Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    • Dạng 3: af(x)+ bf(x)= m, với ab=1. Đặt t = af(x) ⇒bf(x)=

    d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

   • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).

   • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

   • Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v

    e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

   • Phương trình tích A. B = 0 ⇔ Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   • Phương trình A2. B2 = 0 ⇔ Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    f) Phương pháp đối lập

   Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

   Nếu ta chứng minh được: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   3.Một số phương pháp giải phương trình logarit

    a) Đưa về cùng cơ số

   Với a > 0, a ≠ 1: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    b) Mũ hoá

    Với a > 0, a ≠ 1: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

    c) Đặt ẩn phụ

    d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    e) Đưa về phương trình đặc biệt

    f) Phương pháp đối lập

    Chú ý:

   • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

    • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: alogbc = clogba

§8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

   A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG

   Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

   • Phương pháp thế.

   • Phương pháp cộng đại số.

   • Phương pháp đặt ẩn phụ.

   • Phương pháp đánh giá

§ 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

   1.Bất phương trình mũ

    Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax>b ( hoặc ax ≥ b; ax<b; ax ≤ b) với a>0; a ≠ 1

   Ta xét bất phương trình có dạng ax>b

   • Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax> b mọi x.

   • Nếu b>0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab

   Với , nghiệm của bất phương trình là x > logab.

   Với , nghiệm của bất phương trình là x < logab.

   Ta minh họa bằng đồ thị sau:

   • Với a >1 , ta có đồ thị sau.

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   • Với 0< a<1, ta có đồ thị sau.

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   Lưu ý:

   1. Dạng 1: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   2. Dạng 2: Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   3. Dạng 3: af(x) > b(*)

   - Nếu Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 thì luôn đúng.

   - Nếu Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 thì (*) ⇔ f(x) < logab.

   - Nếu Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 thì (*) ⇔ f(x) > logab.

   4. Dạng 4: af(x) < b(**)

   - Nếu Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 thì (**) vô nghiệm.

   - Nếu thì (**) ⇔ f(x) > logab.

   - Nếu Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12 thì (**) ⇔ f(x) < logab.

   2. Bất phương trình logarit

   • Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

   • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:

   – Đưa về cùng cơ số.

   – Đặt ẩn phụ.

   – ….

    Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

   Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

Phần 2: 4 Dạng bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1. Tìm điều kiện về cơ số của lũy thừa

1. Phương pháp giải

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên âm thì cơ số phải dương.

Dạng 2. Rút gọn các biểu thức chứa lũy thừa, căn thức.

1. Phương pháp giải

Để rút gọn các biểu thức đại số, ta cần linh hoạt sử dụng: các hằng đẳng thức đáng nhớ; các tính chất của lũy thừa và tính chất của căn thức.

nhóm công thức 1

Nhóm công thức 2

1. am . an = am+n

Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

2. an . bn = (ab)n Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

3. (am)n = am . n

Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Dạng 3. So sánh các lũy thừa

1. Phương pháp giải

Để so sánh hai lũy thừa ta sử dụng tính chất sau:

+ Tính chất 1

Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Tính chất 2. So sánh lũy thừa khác cơ số:

Với a > b > 0 thì Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Chú ý: Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Dạng 4. Tính giá trị biểu thức lũy thừa

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho 3x = 4 . Tính giá trị của biểu thức Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Đáp án: C

Ta có:

Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Phần 3: 6 dạng bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1. Tìm điều kiện để biểu thức logaf(x) xác định

1. Phương pháp giải

* Để biểu thức logaf(x) xác định thì cần :

+ Cơ số a > 0 và a ≠ 1

+ f(x) > 0

* Chú ý : Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có Δ = b2 − 4ac.

• Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a.

• Nếu Δ > 0 thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 ; x2.

+ Trường hợp 1 : a > 0 thì f(x) > 0 khi x ∈ (− ∞; x1) ∪(x2; +∞) và f(x) < 0 khi x ∈ (x1; x2)

+ Trường hợp 2. a < 0 thì f(x) < 0 khi x ∈ (− ∞; x1) ∪(x2; +∞) và f(x) > 0 khi x ∈ (x1; x2)

Dạng 2 Tính giá trị của một biểu thức chứa logarit

1. Phương pháp giải

Để tính giá trị của một biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit:

* Các quy tắc tính logarit :

Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1 , ta có

loga(bc)= logab + logac

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Đặc biệt : với a, b > 0 ; a ≠ 1 thì

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

loga bα = α logab

Đặc biệt:

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

* Đổi cơ số của lôgarit

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 ta có

• Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) hay logca. logab = logc b

• Đặc biệt: Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) và Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) với α ≠ 0 .

Dạng 3. Rút gọn biểu thức chứa logarit

1. Phương pháp giải

Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit. Ngoài ra, ta còn cần sử dụng các công thức lũy thừa đã học.

Dạng 4. Biểu diễn logarit này theo các logarit khác

1. Phương pháp giải

Để biểu diễn lôgarit này theo các biểu thức lôgarit đã cho ta cần:

+ Đổi cơ số của biểu thức lôgarit cần tính theo cơ số của các biểu thức logarit đã cho .

( chú ý: mối liên hệ giữa các cơ số với nhau).

+ Sử dụng các quy tắc tính logarit; đổi cơ số.

Dạng 5. Biến đổi đẳng thức đã cho thành các đẳng thức chứa logarit.

1. Phương pháp giải

+ Từ đẳng thức đã cho, ta thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức: (a + b)2; (a − b)2; (a + b)3 hoặc (a − b)3

+ Sau đó lấy loga 2 vế cơ số thích hợp – dựa vào các đáp án.

* Chú ý. Các quy tắc tính logarit : Cho 3 số dương a , b và c với a ≠ 1, ta có

loga(bc)= loga b + loga c

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Đặc biệt : với a, b > 0; a ≠ 1 thì

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

logabα = αlogab

Đặc biệt:

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Dạng 6. So sánh hai lôgarit cùng cơ số.

1. Phương pháp giải

Cho số dương a khác 1 và hai số dương b, c.

• Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c.

• Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c.

Ngoài ra, cần sử dụng các công thức quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các số 3log34; 3log2log32Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) những số nào nhỏ hơn 1

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Đáp án: C

Ta so sánh các số với 1

+ 3log34 = 4 > 1.

+ 32log32 = 3log322 = 4 > 1

Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) Bài tập Logarit trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Phần 4: 4 dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số logarit

1. Phương pháp giải

+ Hàm số y = ax cần điều kiện là a là số thực dương và a khác 1.

+ Hàm số y = logax cần điều kiện:

• Số thực a dương và khác 1.

• x > 0

Dạng 2.

1. Phương pháp giải

+ Các hàm số y= ax và y= logax liên tục tại mọi điểm mà nó xác định, tức là :

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Các giới hạn đặc biệt:

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

* Mở rộng:

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit

1. Phương pháp giải

Bảng tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.

Hàm sơ cấp

Hàm số hợp

(ex)' = ex

(eu)' = u' . eu

(ax)' = axlna

(au)' = u' . au . lna

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)
Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Dạng 4. Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số mũ, hàm số logarit.

1. Phương pháp giải

Áp dụng những kiến thức đã học ở chương I để tìm các khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số....

Phần 5: 2 dạng bài tập Hàm số lũy thừa trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

1. Phương pháp giải

Cho hàm số lũy thừa y = [f(x)]α :

+ Nếu α nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x ∈ R.

+ Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số xác định với mọi x ≠ 0.

+ Nếu α không nguyên thì hàm số xác định với mọi x > 0

Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

1. Phương pháp giải

a. Hàm số lũy thừa y = xα có (α ∈ R) đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và (xα)' = αxα − 1

b. Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì y = uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα(x))' = α . uα − 1(x) . u'(x)

Phần 6: Tìm điều kiện xác định của lũy thừa hay nhất

1. Phương pháp giải

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên âm thì cơ số phải dương.

Phần 7: Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay

1. Phương pháp giải

Để rút gọn các biểu thức chứa căn thức, lũy thừa ta cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa, các hằng đẳng thức đáng nhớ...

Cho hai số dương a; b và m,n ∈ R. Khi đó ta có công thức sau.

Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2
Cách giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay - Toán lớp 12 Cách giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay - Toán lớp 12
Cách giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay - Toán lớp 12 Cách giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay - Toán lớp 12
Cách giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay - Toán lớp 12 Cách giải bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay - Toán lớp 12

Phần 8: Dạng bài tập về so sánh các lũy thừa cực hay

1. Phương pháp giải

Để so sánh hai số ta sử dụng tính chất sau:

+ Tính chất 1

Cách giải bài tập về so sánh lũy thừa cực hay - Toán lớp 12

+ Tính chất 2. So sánh lũy thừa khác cơ số:

Với a > b > 0 thì

Cách giải bài tập về so sánh lũy thừa cực hay - Toán lớp 12

+ Chú ý:

Cách giải bài tập về so sánh lũy thừa cực hay - Toán lớp 12

Tài liệu có 43 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống