Chuyên đề Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và hàm số logarit 2022 hay, chọn lọc

Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và hàm số logarit thuộc chương trình Toán 12. Chuyên đề gồm 122 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 12.

Chuyên đề Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và hàm số logarit

Phần 1: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit

I. LÝ THUYẾT

a. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an = a.a....a, (n thừa số)

Ở đây n ∈ Z+, n > 1. Quy ước a1 = a  . 

(a ≠ 0): a0 = 1, a-n Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải với n ∈ Z+ 

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b ∈ R : Có một căn bậc n của b là n√b .

Với n chẵn 

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ± n√b .

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

    + Lũy thừa số mũ hữu tỷ

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

+ Lũy thừa số thực

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim r= α )

+ Tính chất

 Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Nếu a > 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α > β

Nếu a < 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α < β 

b. Logarit

+ Định nghĩa:  

Cho 0 < a ≠ 1, b > 0.   

Ta có: α = logab ⇔ aα > b   

- Lôgarit thập phân: log10b = log b = lg b .

- Lôgarit tự nhiên: logeb = ln b .

+ Các công thức: 

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

logaa = 1, loga1 = 0

aloga= b, loga(aα) = α

loga(b1.b2) = logab+ logab2

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Đặc biệt : với a,b > 0, a ≠ 1 Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

logabα = αlogab

Đặc biệt: logan√b = Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Đặc biệt: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

A. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an = a.a....a, (n thừa số)

Ở đây n ∈ Z+, n > 1. Quy ước a1 = a  . 

(a ≠ 0): a0 = 1, a-n Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải với n ∈ Z+

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b ∈ R : Có một căn bậc n của b là n√b .

Với n chẵn 

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ± n√b .

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

+ Lũy thừa số thực

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim r= α )

+ Tính chất

 Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa:  

Cho 0 < a ≠ 1, b > 0.   

Ta có: α = logab ⇔ aα > b   

- Lôgarit thập phân: log10b = log b = lg b .

- Lôgarit tự nhiên: logeb = ln b .

+ Các công thức: 

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

logaa = 1, loga1 = 0

aloga= b, loga(aα) = α

loga(b1.b2) = logab+ logab2

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Đặc biệt : với a,b > 0, a ≠ 1 Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

logabα = αlogab

Đặc biệt: logan√b = Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Đặc biệt: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

B. Ví dụ minh họa 

Câu 1. Cho là số thực dương. Giá trị của biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bằng

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn D

Với a > 0, ta có Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 2. Rút gọn biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

A. P = 2 .                    B. P = a2 .                    C. P = 1 .                    D. P = a .

Lời giải

Chọn C

Ta có: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay

Nhập vào máy tính:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a > 0 và a ≠ 1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A = 3. Khi đó ta có kết quả.

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 3. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn D

+) Có Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải với mọi α, nên A đúng.

+) Có (10α)2 = (100)αvới mọi α , nên B đúng.

+) Có √10α = (√10)α với mọi α , nên C đúng.

+) Ta có (10α)2 = 102α ≠ Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải. Do đó D sai.

Câu 4. Biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn A

Ta có: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Câu 5. Tính giá trị biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

A. 14.    

B. 12.    

C. 11.    

D. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có  Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 6. Cho a là số thực dương và a ≠ 1. Giá trị của biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bằng

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn D

Ta có: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 7. Cho a > 0, a ≠ 1 biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải có giá trị bằng bao nhiêu?

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn C

Ta có: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, a ≠ 1. Giá trị của Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bằng

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức: alogab = b

Ta có: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 9. Tính giá trị của Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải với a > 0, a ≠ 1.

A. 16.                     B. 8 .                        C. 4 .                      D. 2 .

Lời giải

Chọn A

Ta có: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn C

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. ln(2e2) = 2 + ln2.             

B. lnCác dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải = ln 2 - 1.

C. ln √4e = 1 + ln 2 .               

D. ln(e) = 1 .

Lời giải

Chọn C

ln √4e = ln√4 + ln √e = ln 2 + Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

A. √3 .                        B. 1 .                         C. √2 .                        D. 2 .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải   

                                Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit

A. Phương pháp giải.

Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit

a. So sánh các lũy thừa

Nếu a > 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α > β

Nếu a < 1 thì aα > aβ khi và chỉ khi α < β

b. So sánh các logarit

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Cách 2. Sử dụng máy tính casio

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn B 

Vì cơ số a > 1 nên ta có am > an ⇔ m > n.

Xét phương án A: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải => phương án A sai.

 Xét phương án B: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải => hay  phương án B đúng.

Xét phương án C: Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải => phương án C sai.

Xét phương án C: 2016 < 2017 ⇔ a2016 < a2017 ⇔ Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải => phương án D sai.

Vậy phương án đúng là phương án B

Câu 2. Cho πα > πβ với α,β ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. α > β.                               B.α < β .                C. α = β .                D. α ≤ β .

Lời giải

Chọn A

Do π > 1 nên πα > πβ ⇔ α > β .

Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn a3 > aπ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 < a < 1 .                  B. a < 0 .                C. a > 1 .                 D. a = 1 .

Lời giải

Chọn A

Ta có a3 > aπ mà 3 < π nên 0 < a < 1.

Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn C

Vì cơ số là Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Do đó 5 < 6 nên Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải là mệnh đề đúng.

Câu 5. Nếu Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải thì

A. 0 < a < 1, 0 < b < 1                                             B. 0 < a < 1, b > 1      

C. a > 1, b > 1                                                         D. a > 1, 0 < b < 1

Lời giải

Chọn B

Ta có Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải khi 0 < a < 1 

Ta lại có Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải khi b > 1 

Vậy 0 < a < 1, b > 1 

Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Lời giải

Chọn C

Ta có log x ≥ 0 ⇔ x ≤ 100 nên x ≤ 1 là khẳng định đúng. 

log3x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 30 nên 0 < x ≤ 1 là khẳng định đúng.

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải ⇔ b > a > 0 nên khẳng định C sai.  

D đúng do tính đơn điệu của hàm số Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tính giá trị biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

A. 15.                                    B. 28.                     C. -11.                   D. 10.

Câu 2. Cho biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải. Khi đó giá trị của f(2,7) bằng:

A. 0,027 .                              B. 27 .                    C. 2,7 .                   D. 0,27 .

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải 

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 5. Với các số thực   bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 6. Cho số thực x và số thực y ≠ 0 tuỳ ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. 3x.3y = 3x+y.                      

B. (5x)y = (5y)x .                    

C. Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải                      

D. (2.7)x = 2x.7x .

Câu 7. Cho a là số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. A = √7 .                   B. A = 1 .                C. A = 2 .               D. Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 8. Cho a > 0 ; b > 0. Viết biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải về dạng am và biểu thức Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải về dạng bn. Ta có m - n = ? 

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải                    C. 1 .                       D. -1 .

Câu 9. Cho số thực a dương và m,n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. am+n = (am)n .                     

B. am+n = Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải.                        

C. am+n = am.an                     

D. am+n = am + n 

Câu 10. Cho số dương a và m,n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. am.an = am-n.                     

B. am.an =(am)n                   

C. am.an = am+n.                     

D. am.an = am.n.

Câu 11. Cho a là số dương tuỳ ý, 4√a3  bằng

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức 2log2a + loga(ab) (a > 0, a ≠ 1).   

A. P = a - b                 B. P = 2a + b .         C. P = a + b .           D. P = 2a + b .

Câu 13. Cho a là số thực dương khác 1. Tính P = loga√a .

A. P = Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải .                B. P = -2 .              C. P = 2 .                D. P = 0 .

Câu 14. Cho a,b > 0. Nếu lnx = 5lna + 2ln√b thì x bằng

A. a5 + b .               B. a5b .                   C. 10a√b.              D. Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải .

Câu 15. Với a là số thực dương tùy ý, log(8a) - log(3a)  bằng

ACác dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải .                 Blog38 .                 ClogCác dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải .                Dlog(5a) .

Câu 16. Cho (√2 - 1)m < (√2 - 1)n. Khi đó: 

A. m > n.               B. m < n. .               C. m = n. .               D. m ≤ n. .

Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. log35 > 0 .

B. log 2+ x2 2016 < log 2+ x2 2017.

C. log0,30,8 < 0 .

DCác dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Câu 18. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. logx < 1 ⇔ 0 < x < 10.       

B. lnx ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

C. Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải                     

D. Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải

Đáp án:

1. B

2. C

3. D

4. B

5. A

6. C

7. B

8. C

9. C

10. C

11. C

12. C

13. A

14. B

15. C

16. A

17. C

18. C

 

Phần 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

I. LÝ THUYẾT

1. Hàm số lũy thừa

+ Khái niệm: Hàm số y = xα, với α ∈ R , được gọi là hàm số lũy thừa.

+ Tập xác định: Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của . 

Cụ thể: 

- Với α nguyên dương, tập xác định là R .

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\ .

- Với α không nguyên, tập xác định (0;+∞).

+ Đạo hàm: 

(xα)= α.xα-1

u = u(x) => (uα)' = α.u'.uα-1

+ Sự biến thiên của hàm số y = xα trong khoảng (0;+∞)  

Với α > 0: Hàm số đồng biến trong khoảng (0;+∞)   

Với α < 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;+∞)   

+ Đồ thị hàm số y = xα trong khoảng (0;+∞)  

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1,1).

2. Hàm số mũ

Hàm số có dạng y = xα, 0 < a ≠ 1 được gọi là hàm số mũ.

+ Tập xác định: D = R .

+ Tập giá trị: T = (0;+∞).

+ Sự biến thiên: 

Khi a > 1 hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞) 

Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) 

+ Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

+ Đạo hàm:

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

+ Bảng biến thiên và đồ thị:

Với: y = xα, (a > 1)

Bảng biến thiên.

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Đồ thị như hình sau.

                                                      Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Với: y = xα, (0 < a < 1)

Bảng biến thiên.

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Đồ thị như hình sau.

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

3. Hàm số logarit

Hàm số có dạng y = log2x (0 < a ≠ 1)   .

Tập xác định: D = (0,+∞)  

Tập giá trị: T = R.

Đạo hàm: 

                                                Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Sự biến thiên: Khi a > 1 hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞) 

Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên khoảng (0,+∞) 

Đồ thị:

                                Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

IICÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

A. Phương pháp giải

- Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa: y = u(x)α, ∀α ∈ R  

Nếu α ∈ Z+, hàm số xác định khi u(x) xác định. 

Nếu Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất, hàm số xác định khi u(x) ≠ 0 .

Nếu α ∉ Z, hàm số xác định khi u(x) > 0.

- Tìm tập xác định của hàm số logarit:

Dựa vào định nghĩa logarit logab xác định Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất có tập xác định là

A. D = [2; +∞).                     

B. D = R.                              

C. D = (2; +∞)                     

D. D = R\.

Lời giải

Chọn C    

Vì Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất không nguyên nên hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất xác định khi x - 2 > 0 ⇔ x > 2.

Tập xác định của hàm số là D = (2; +∞) .

Câu 2. Cho hàm số y = x-4 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Đồ thị hàm số có một trục đối xứng.                 

B. Đồ thị hàm số đi qua điểm(1,1).

C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.               

D. Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng.

Lời giải

Chọn D

* TXĐ: D = R \  .

Ta có: Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất nên hàm số đã cho là hàm số chẵn => Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng => A đúng.

* Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1) nên B đúng.

* Ta có: Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận nên C đúng.

Câu 3. Tập xác định của hàm số y = (x2 - 5x + 6)-2019 là

A. (-∞; 2) ∪ (3;+∞).       

B.(2;3). 

C. R\.

D. (-∞; 2] ∪ [3;+∞) 

Lời giải

Chọn C

Vì -2019 là số nguyên âm nên hàm số y = (x2 - 5x + 6)-2019 xác định khi .

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 4.Tìm tập xác định của hàm số y = (x2 - x - 2)√2.

A. D = R .                                                

B. D = (-∞; -1] ∪ [2;+∞).

C. D = (-∞; -1) ∪ (2;+∞).    

D. D = R\{-1;2} .

Lời giải

Chọn C

Vì √2 không nguyên nên hàm số y = (x2 - x - 2)√2  xác định khi:Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

TXĐ: D = (-∞; -1) ∪ (2;+∞).

Câu 5. Tập xác định của hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất là

A. D = (3;+∞) .          

B. D = R\ .                 

C. R .                          

D. D = [3;+∞) .

Lời giải

Chọn A

Vì Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất không nguyên nên hàm số đã cho xác định khi x3 - 27 > 0 ⇔ x3 > 27 ⇔ x > 3 .

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (-2018;2018) để hàm số y = (x2 - 2x - m + 1)√2018 có tập xác định là D = R .

A. 2017.                                

B. Vô số.            

C. 2018.                                

D. 2016.

Lời giải

Chọn A

Vì √2018 không nguyên nên hàm số y = (x2 - 2x - m + 1)√2018 có tập xác định là D = R khi và chỉ khi x2 - 2x - m + 1 > 0, ∀x ∈ R ⇔x2 - 2x + 1 > m, ∀x ∈ R ⇔ (x - 1)2 > m, ∀x ∈ R ⇔ m < 0.

m ∈ (-2018;2018) =>  m ∈ (-2018;0) mà m nguyên nên  m ∈ {-2017;2016;...;-1} . Vậy có 2017 giá trị nguyên của m.

Câu 7Tìm tập xác định D của hàm số y = log3(2x + 1) .

A. Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất .                                             

B. Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

C. D = (0; +∞) .                                               

D. Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn D

Hàm số y = log3(2x + 1) có nghĩa khi 2x + 1 > 0 ⇔ Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất. Vậy TXĐ là Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

Câu 8Tìm tập xác định D của hàm số y = log3(x2 + 3x + 2).

AD = [-2, -1].                                                     

B. D = (-∞;-2) ∪ (-1;+∞) . 

C. D = (-2, -1).                                                     

D. D = (-∞;-2] ∪ [-1;+∞) .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện x2 + 3x + 2 > 0Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất. Vậy tập xác định của hàm số y = log3(x2 + 3x + 2) là: D = (-∞;-2) ∪ (-1;+∞) 

Câu 9Hàm số y = log2(-x2 + 5x - 6) có tập xác định là:

A. (2, 3).                                

B. (-∞;-2) ∪ (3;+∞).

C. (-∞;-2).

D. (3;+∞).

Lời giải

Chọn A

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi -x2 + 5x - 6 > 0 ⇔ 2 < x < 3.

Kết luận. Vậy tập xác định là (2; 3).

Câu 10: Tập xác định của hàm số y = ln(x - 1) + ln(x + 1) là:

A. (1;+∞).                        

B. (-∞; √2).

C. ø.                                    

D. [√2; +∞).

Lời giải

Chọn A

Ta có Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Kết luận: Vậy tập xác định D = (1;+∞).

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số.

A. Phương pháp giải

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

                                  Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn D

Ta có

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 2. Cho hàm số y = (2x2 + 4x + 1)√3. Khi đó đạo hàm y’(0) bằng

A. 4√3 .                                

B. 0.                         

C. 12√3                             

D. 28.

Lời giải

Chọn A

y = (2x2 + 4x + 1)√3 => y’(x) = √3.(4x + 4).(2x2 + 4x + 1)√3-1 => y’(0) = 4√3

Câu 3. Cho hàm số y = (x + 2)-2. Gọi y’’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y trên tập xác định của hàm số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 2y’’ – 3y = 0.     

B. (y’’)2 - 4y = 0 .                

C. 2y’’ + 2y = 0.                                                         

D. y’’ + 6y2 = 0.

Lời giải

Chọn D 

Ta có:

y = (x + 2)-2 => y' = -2(x + 2)-3 

=> y’’ = 6(x + 2)-4 = 0.

Suy ra Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 4Tính đạo hàm của hàm số y = log2017(x+ 1)  .

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn B

Ta có Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

Câu 5Cho hàm số y = 2xex + 3sin2x. Khi đó y’(0) có giá trị bằng

A. 8 .                                     

B. -4 .                                   

C. 2 .                                     

D. 5 .

Lời giải

Chọn A

y = 2xex + 3sin2x 

y' = 2(ex + xex) + 6cos2x => y'(0) = 8

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số y = 2√1-x .

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn A

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 7: Cho hàm số y = ex + e-x. Tính y''(1) = ? 

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn A

Ta có: y' = ex + e-x => y'' = ex + e-x => y''(1) = e + Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 8Tính đạo hàm của hàm số y = 36x+1 .

A. y' = 36x+1.2.                       

B. y' = (6x + 1).36x .    

C. y' = 36x+1.2ln3 .                  

D. y' = 36x+1.ln3 

Lời giải

Chọn C

Ta có:  

y = 36x+1 => y' = (6x + 1)'.36x+1ln3 = 6.36x+1.ln3 = 36x+1.2ln3

Câu 9Cho hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhấtHệ thức nào sau đây đúng?

A. xy+ 1 = ex .                       

B. xey + y' = 0 .          

C. xy+ ey = 1.                       

D. xey + y' = 1

Lời giải

Chọn A

Ta có Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 10: Đạo hàm của hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất là :

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức: Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số.

A. Phương pháp giải

Sự biến thiên của các hàm số: Áp dụng tính chất:

a) Hàm số lũy thừa y = xα trong khoảng (0; +∞) 

Với α > 0: Hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞) 

Với α < 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng (0; +∞)

b) Hàm số mũ: y = xα (a > 0; a ≠ 1). Tập xác định: R

Nếu a > 1: hàm số luôn đồng biến.

Nếu 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến.

c) Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1). Tập xác định: (0; +∞)   

Nếu a > 1: hàm số đồng biến (0; +∞)   

Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến (0; +∞)   

- Đồ thị của các hàm số. 

B1: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số 

B2: 

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1,1)

Đồ thị hàm số mũ y = xα luôn đi qua điểm A(1,a)

Đồ thị hàm số y = logax đi qua điểm B(a;1)

BVí dụ minh họa

Câu 1. Hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên tập xác định của nó:

A. y = x√3

B. y = xπ 

C. y = Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

D. y = x√5 

Lời giải

Chọn C

Hàm số y = x√3 có tập xác định là (0;+∞) và α = √3 > 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞)   

Hàm số y = xπ có tập xác định là (0; +∞) và α = π > 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞)   

Hàm số y = Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất có tập xác định là (0; +∞) và Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất < 0 nên hàm số nghịch biến trong khoảng (0; +∞)   

Hàm số y = x√5 có tập xác định là (0; +∞) và α = √5 > 0 nên hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞)   

Câu 2.  Cho ba hàm số y = x√3Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất y = x-2 . Khi đó đồ thị của ba hàm số y = x√3Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất y = x-2 lần lượt là

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

A. (C3), (C2), (C1).                

B. (C2), (C3), (C1).        

C. (C2), (C1), (C3).                

D. (C1), (C3), (C2).        

Lời giải

Chọn B

Nhìn vào đồ thị (C1) ta thấy nó đi xuống từ trái sang phải. Là đồ thị của hàm số nghịch biến nên nó là đồ thị của hàm số y = x-2.

Vì √3 > 1 nên đồ thị của hàm số y = x√3 là (C2)

Do đó (C3) là đồ thị của hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất Vậy đáp án là: B

Câu 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. y = log2(1 - x) .                 

B. y = 20172-x .

C. Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất            

D. Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Lời giải

Chọn C

Hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Ta có Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 4Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất                   

B. y = log√3x .

C. y = log2x .                        

D. y = logπx .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất có TXĐ: D = (0; +∞)

Vì Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất là hàm nghịch biến trên tập xác định D.

Câu 5: Cho hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số luôn đồng biến trên R.                         

B. Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) .

C. Hàm số luôn đồng biến trên trên (-∞; 1).       

D. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

Lời giải

Chọn C

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Bảng biến thiên:

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Từ bảng biến thiên ta có hàm số luôn đồng biến trên trên (-∞; 1).

Câu 6Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln(16x2 + 1) - (m + 1)x + m + 2 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

A. m ∈ (-∞; -3].             

Bm ∈ [3;+∞) .

C. m ∈ (-∞; -3) .                   

D. m ∈ [-3; 3] .

Lời giải

Chọn B

Ta có: y = ln(16x2 + 1) - (m + 1)x + m + 2  

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y≤ 0, ∀x ∈ R  

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Cách 1Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất , ∀x ∈ R ⇔ 32x - (m + 1)(16x2 + 1) ≤ 0,∀x ∈ R

⇔ -16(m + 1)x2 + 32x - (m + 1) ≤ 0,∀x ∈ R (1)  

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

TH: m = -1 thì (1) thành x ≤ 0 nên m = -1 không thỏa mãn

Cách 2Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Bảng biến thiên:

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất 

Do đó: m + 1 ≥ 4 ⇔ m ≥ 3.

IIIBÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập xác định D của hàm số y = (x2 - 3x + 2)√2  là

A. D = R\ .                                           B. D = (-∞;-1) ∪ (-2;+∞) .

C. (-∞;-1) ∪ (2;+∞) .                                    D. D = R\{-1,2} .

Câu 2: Hàm số y = (x2 - 2x + 2)ex có đạo hàm là

A. (2x + 2)ex .                    B. x2ex .                  C. -2xex .                  D. (2x - 2)ex

Câu 3Tính đạo hàm của hàm số y = 2√1-x .

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y = (2x2 - 5x + 2)ex là:

A. xex                            B. (2x2 - x - 3)ex .                     C. 2x2ex .                   D. (4x - 5)ex .

Câu 5: Tập xác định D của hàm số y = log3(log2x)  là

A. D = R .                 B. D = (0,1) .                    C. D = (0; +∞) .     D. D = (1; +∞)  

Câu 6: Cho hàm số y = log2x2. Tìm khẳng định sai.

A. Hàm số đồng biến trên (0; +∞).                      B. Hàm số nghịch biến trên (-∞;0).

C. Hàm số có một điểm cực tiểu.                          D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận.

Câu 7: Cho ba số a , b , c dương và khác 1. Các hàm số y = logax , y = logbx , y = logccó đồ thị như hình vẽ sau

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a > c > b                      B. a > b > c.           C. c > b > a.            D.  b > c > a.

Câu 8: Tập xác định Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất là:

A. D = (1;2]                  B. D = [1;2]                C. D = (1;1)                 D. D = (-1;2) 

Câu 9Tìm tập xác định D của hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

A. D = (-∞;1) ∪ (2,10)                     B. D = (1;+∞) 

C. D = (-∞;10)                                 D. D = (2,10) 

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y = log8(x2 - 3x - 4) là:

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 11:Đạo hàm của hàm số y = log(2sinx - 1) trên tập xác định là:

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Câu 12Tính đạo hàm của hàm số Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Phương pháp giải bài tập hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit hay nhất

Bảng đáp án bài tập tự luyện

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

B

A

B

D

C

A

A

A

A

C

A

Phần 3: Phương trình mũ

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình mũ cơ bản: ax = b (a > 0, a ≠ 1). 

Với b > 0, ta có ax = b ⇔ x = loga

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.

+ Biến đổi, quy về cùng cơ số:

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

+ Đặt ẩn phụ:

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Ta thường gặp các dạng:

m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0

m.af(x) + n.bf(x) + p = 0 , trong đó a.b = 1

Đặt t = af(x) t > 0, suy ra Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) = 0 . Chia hai

vế cho b2f(x) và đặt Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(v - 1) = 0 với đặt u = af(x), v = bg(x) u > 0, v > 0

Au + Bv = Av + Bu ⇔ (A - B)(u - v) = 0 với đặt u = af(x), v = bg(x) u > 0, v > 0  

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn   rồi đưa về tích. 

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình

+ Logarit hóa: 

Phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Phương trình

af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).logab

hoặc  logbaf(x) = logbg(x) ⇔ f(x).logba = g(x)

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (∗)  

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = a (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

y = ax(0 < a ≠ 1) và y = f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a,b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a,b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = u, ∀u, v ∈ (a,b) .

Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 

Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v hoặc u < v, ∀u, v ∈ D

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình f(x) = g(x).

Nếu ta đánh giá được Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

ax = b (a > 0, a ≠ 1) . Để giải pt trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0, ta có ax = b ⇔ x = loga

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có nghiệm là

A. x = log23 .                 B. x = log32.                C. x = log43.               D. x = log34.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 2Phương trình 8x = 4 có nghiệm là

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: 8x = 4 ⇔ x = log84 ⇔ Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 3Nghiệm của phương trình 2x + 2x+1 = 3x + 3x+1  là:

A. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải               B. x = 1 .                 C. x = 0 .                D. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Hướng dẫn giải

2x + 2x+1 = 3x + 3x+1 ⇔ 3.2x = 4.3x ⇔ Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Chọn A.

Câu 4Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15x - 5x+1 = 20 là:

A. x = log35 - 1.                    B. x = log35.          

C. x = log35 + 1.                    D. x = log53 - 1.

Hướng dẫn giải

12.3x + 3.15x - 5x+1 = 20 ⇔ 3.3x(5x + 4) - 5(5x + 4) = 0 ⇔ (5x + 4)(3x+1 - 5) = 0 

⇔ 3x+1 = 5 ⇔ x = log35 - 1

Chọn A. 

Câu 5Phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có nghiệm là

A. x = 1.              B. x = 0.                C. x = -1.                  D. x = 3.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Nghiệm của phương trình là x = 1.

Câu 6Tập nghiệm của ph­ương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải là

A. {-2;2}                      B. ø                      C.                    D.   

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 7Giải phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

A. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải                  B. x = 1                  C. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải                 D. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải    

Câu 8Phương trình 3x.5x-1 = 7 có nghiệm là

A. log1535                     B. log215                  C. log2135                  D. log1521 

Hướng dẫn giải

Chọn A.

PT  15x = 35 ⇔ x = log1535

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

B. Ví dụ minh họa

Câu 1Tìm tập nghiệm của phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

A. .               

B. .               

C. {-4 + √3, -4 - √3}.           

D. {-2 + √3, -2 - √3}.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Vậy tập ngiệm của phương trình: S =  

Câu 2. Nghiệm của phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải là:

A. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                                  B. 4.                      C. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                   D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Vậy phương trình có nghiệm là  Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 3Phương trình (0,2)x+2 = (√5)4x-4 tương đương với phương trình:

A. 5-x+2 = 52x-2.                     B. 5-x-2 = 52x-2.      

C. 5-x-2 = 52x-4.                     D. 5-x+2 = 52x-4.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 4. Phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có nghiệm là

A. x = -1.                 B. x = 2.                  C. x = -2.                 D. x = 1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Vậy phương trình có nghiệm là x = -1.

Câu 5. Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình (3x)x-1 = 64 thì giá trị của S 

A. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                                    B. -6.                    C. -3 .                    D. 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có 

(3x)x-1 = 64 ⇔ 3x(x-1) = 64 ⇔ x2 - x = 6 ⇔ x2 - x - 6 = 0 ⇔ Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 6. Tìm tập nghiệm S của phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

A. S = ø.                B. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải              C. S = .                  D. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Hướng dẫn giải

Chọn D. 

Phương trình đã cho tương đương với Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải     

Vậy tập nghiệm của phương trình : Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 7Nghiệm của phương trình 42x-m = 8x 

A. x = -m.                B. x = -2m.                   C. x = 2m.                   D. x = m.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: 42x-m = 8⇔ (22)2x-m = (23)⇔ 24x-2m = 23x ⇔ 4x - 2m = 3x ⇔ x = 2m

Vậy nghiệm của phương trình x = 2m. 

Câu 8Tập nghiệm của phương trình   là

A. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                 B. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                    C. .                     D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Vậy tập nghiệm của phương trình: S = .

Dạng 3. Phương pháp đăt ẩn phụ

A. Phương pháp

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Ta thường gặp các dạng:

m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0

m.af(x) + n.bf(x) + p = 0 , trong đó a.b = 1

Đặt t = af(x) t > 0, suy ra Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) = 0 . Chia hai

vế cho b2f(x) và đặt Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(v - 1) = 0 với đặt u = af(x), v = bg(x) u > 0, v > 0

Au + Bv = Av + Bu ⇔ (A - B)(u - v) = 0 với đặt u = af(x), v = bg(x) u > 0, v > 0  

Đặt ẩn phụ đưa không hoàn toàn: là việc dùng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một một phương trình với một ẩn phụ mà hệ số vẫn còn ẩn   rồi đưa về tích. 

Đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ phương trình: Đặt ẩn phụ sau đó dựa vào các điều kiện để đưa phương trình đã cho về hệ phương trình với các ẩn mới.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho phương trình 4- 41-x = 3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có một nghiệm.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x - 3.4x - 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: 4- 41-x = 3 Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Đặt t = 4x (t > 0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm, nghiệm này lớn hơn 0. Do đó A sai.

Chọn A.

Câu 2. Cho phương trình 32x+10 - 6.3x+4 - 2 = 0(1). Nếu đặt t = 3x+5 (t > 0) thì (1) trở thành phương trình nào?

A. 9t2 - 6t - 2 = 0                  B. t2 - 2t - 2 = 0     

C. t2 - 18t - 2 = 0                   D. 9t2 - 2t - 2 = 0 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

32x+10 - 6.3x+4 - 2 = 0 ⇔ 32(x+5) - 2.3x+5 - 2 = 0

Vậy khi đặt t = 3x+5 (t > 0) thì (1) trở thành phương trình t2 - 2t - 2 = 0 

Câu 3. Phương trình   có tổng các nghiệm là:

A. log36.                  B. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                 C. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải.                 D. -log36.

Hướng dẫn giải

9x - 5.3x + 6 = 0 (1)

(1) ⇔ (32)- 5.3x + 6 = 0 ⇔ (3x)2 - 5.3x + 6 = 0 (1')   

Đặt t = 3x > 0. Khi đó: (1') ⇔ t2 - 5t + 6 = 0   

Với t = 2 => 3x = 2 ⇔ x = log32 .

Với t = 3 => 3x = 3 ⇔ x = log33 = 1.

Suy ra 1 + log32 = log33 + log32 = log36.

Chọn A.

Câu 4. Cho phương trình 21+2x + 15.2x - 8 = 0, khẳng định nào sau dây đúng?

A. Có một nghiệm.                B. Vô nghiệm.

C. Có hai nghiệm dương.       D. Có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

21+2x + 15.2x - 8 = 0 (2)  

(2) ⇔ 2.2x + 15.2x - 8 = 0 ⇔ 2.(2x)2 + 15.2x - 8 = 0 (2'

Đặt Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Với Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Do đó A đúng.

Chọn A.

Câu 5. Phương trình 5x-1 + 5.(0,2)x-2 = 26 có tổng các nghiệm là:

A. 1.                        B. 4                     C. 2 .                      D. 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

5x-1 + 5.(0,2)x-2 = 26 ⇔ 5x-1 + 5.52-x = 26

⇔ 5x-1 + 25.51-x = 26

Đặt t = 5x-1 (t > 0), phương trình trở thành: Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải ⇔ t2 - 26t + 25 = 0.

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Vậy tổng các nghiệm là 4.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào máy tính 5x-1 + 5.(0,2)x-2 = 26. Nhấn dấu = để lưu phương trình.

Shift  Solve →  =. Ra nghiệm x = 1 .

Shift  Solve →  =. Ra nghiệm x = 3 .

Câu 6. Cho phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giảiTổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

A. -2 .                       B. 2 .                      C. 0 .                      D. 1 .

Hướng dẫn giải

Đặt Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải (t > 0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng -2 

Câu 7. Tìm tích các nghiệm của phương trình (√2 - 1)x + (√2 + 1)x - 2√2 = 0.

A. 2 .                   B. -1 .                      C. 0 .                       D. 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: (√2 - 1)(√2 + 1) = 1

Đặt t = (√2 - 1)x, điều kiện t > 0Suy ra (√2 - 1)= Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Phương trình trở thành:

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Vậy tích của hai nghiệm x1x2 = 1.(-1) = -1 

Câu 8. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số   để phương trình   có nghiệm.

A. (-∞;+∞).                B. (-∞;1) ∪ (1;+∞) .                    C. (1;+∞).                  D. Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Xét phương trình 4x + (1-3m)2x + 2m2 - m = 0 (1)  

Đặt t = 2x, t > 0 Phương trình (1) trở thành t2 + (1 - 3m)t + 2m2 - m = 0 (2) 

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm x = m;x = 2m - 1,∀m 

Phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t > 0 

Từ đó suy ra Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

                             Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa

A. Phương pháp:

+ Phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

+ Phương trình

af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).logab

hoặc logbaf(x) = logbbg(x) ⇔ f(x).logba= g(x)

B. Ví dụ minh họa:

Câu 1. Biết rằng phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có 2 nghiệm là a,b. Khi đó a + b + ab có giá trị bằng

A. -1 + 2log23.                     B. 1 + log23 .           C. -1 .                    D. 1 + 2log23 .

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Ta có Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

⇔ x2 - 1 = (x + 1)log23

⇔ x2- x.log23 - 1- log23 = 0 ⇔ Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Vậy ta có a + b + ab = -1 + 1 + log23 - 1- log23 = -1  

Câu 2. Phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có hai nghiệm x1,x2 trong đó x1 < x2, hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3x1 - 2x2 = log38 .             

B. 2x1 - 3x2 = log38.             

C. 2x1 + 3x2 = log354           

D. 3x1 + 2x2 = log354. 

Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:  

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Câu 3. Cho hai số thực dương a,b lớn hơn 1 và biết phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

A. 4                        B. 5                        C. 6                        D. 10

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với: x2 + (x + 1)logab = 0 ⇔ x2 + xlogab + logab = 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm là  

Δ = (logab)2- 4logab ≥ 0 ⇔ logab ≥ 4(logab > 0)

Khi đó Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Với t = logab ≥ 4.

Chọn C.

Câu 4. Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1. Biết phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có hai nghiệm phân biệt x3,x4 thỏa mãn (x+ x2)(x+ x4) < 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3a + 2b.

A. 12                             B. 46                      C. 44                      D. 22 

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Với Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải, lấy logarit cơ số a hai vế ta được:

x2 + 1 = xlogab ⇔ x2 - xlogab + 1 = 0

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt, khi đó

Δ = (logab)2 - 4 > 0 ⇔ logab > 2 ⇔ b > a2.

Tương tự Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải⇔ x2 - 1 = xlogb(9a) => Δ = (loga(9a))2 + 4 > 0

Khi đó theo Vi-ét ta có

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

Vì vậy b > 16 => S > 3.4 + 2.17 = 46.

Dạng 5. Phương pháp đồ thị, hàm số, đánh giá

A. Phương pháp

+ Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình: 

ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (∗)  

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước1. Vẽ đồ thị các hàm số

y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a,b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a,b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v,∀u,v ∈ (a,b).

Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 

Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v),∀u,v ∈ D

+ Sử dụng đánh giá:

Giải phương trình f(x) = g(x) 

Nếu ta đánh giá được Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phương trình (x - 1).2x = x + 1 có bao nhiêu nghiệm thực

A. 1.                        B. 0 .                      C. 3 .                      D. 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Vì x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta có (x - 1).2x = x + 1 ⇔ Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Hàm số y = 2x đồng biến trên R, hàm số Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải nghịch biến trên (-∞;1) và (1;+∞) .

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 2. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải có nghiệm?

A. m ≤ 4                         B. m ≥ 4                 C. m ≤ 1                 D. m ≥ 1 

Hướng dẫn giải

Chia hai vế của bất phương trình cho Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải, ta được

Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

Xét hàm số Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải là hàm số nghịch biến.

Ta có: 0 ≤ sin2x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4 

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4

Chọn A.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

A. 1 .                                      B. 3 .                      C. 2 .                      D. 4 .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình đã cho  

⇔ x2 + 3x - 6 + x2 - x - 3 = (x2 - x - 3).Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải 

=> u + v = u.8v + v.8v (với u = x2 + 3x - 6; v = x2 - x - 3 )  

⇔ (8u - 1)v + (8v - 1)u = 0 (∗)

TH1. Nếu u = 0, khi đó (∗) ⇔ v = 0 => Các dạng bài tập phương trình mũ và cách giải

TH2. Nếu v = 0 tương tự TH1.

TH3. Nếu u > 0; v > 0 khi đó (8u - 1)v + (8v - 1)u > 0 => (∗) vô nghiệm.

TH4. Nếu u < 0; v < 0 tương tự TH3.

TH5. Nếu u > 0; v < 0, khi đó (8u - 1)v + (8v - 1)u < 0 => (∗) vô nghiệm.

TH6. Nếu u < 0; v > 0 tương tự TH5.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.