Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian 2022 hay, chọn lọc

Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian thuộc chương trình Toán 12. Chuyên đề gồm 134 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 12.

Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian

Phần 1: 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1. Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

Tính chất: Cho

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

Tính chất: Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB)

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A( 1; 2; 3); B( -1; 2; 0) và C(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P= a+ b+ c?

A. P = 0    B. P = 3    C. P = 2    D. P = 9

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

=> G( 1; 2; 0)

Vậy P= 1+ 2+ 0= 3.

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) . Tính tọa độ vectơ Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

A. (0; -1; -5)    B. (2; -1; 1)    C. (2; 3; 1)    D. (0; -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Do Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) nên tọa độ b(1; 1; -2)

Suy ra: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) = (1+1; 2+ 1; 3+ (-2)) = (2; 3; 1)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a (1; 5; 2); ON (3; 7; -4). Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. P( 5; 9; 10).    B. P(5; 9; -10)    C. P(1; 2; - 4)    D. P( -2; 1;1)

Hướng dẫn giải:

Ta có OM (1;5;2) nên tọa độ điểm M( 1; 5; 2); ON (3; 7; - 4) nên tọa độ điểm N(3; 7; -4).

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1); B’(2;1;2); D’(1; -1;1) ; C(4 ; 5 ; -5). Gọi tọa độ của đỉnh A’(a ; b ;c). Khi đó P = abc bằng

A. 1    B. 0    C. 2    D. 3

Hướng dẫn giải:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Ta có

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Theo quy tắc hình hộp, ta có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Vậy P= abc = 0

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 3); B(-2; 4; 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BA (4;4;2)    B. M(0; 2; 2)    C. AB = 6    D. AB (-4;4;-2)

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Độ dài đoạn thẳng AB là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Tọa độ vecto AB (-4; 4; -2)

Chọn A

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM = √5 . Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 0; 3)    B. M(0; 0; 2)    C.M( 0; 0; -3)    D. M(0; 0; 2)

Hướng dẫn giải:

Do điểm M thuộc trục Oz nên tọa độ điểm M có dạng M(0; 0; m)

Theo giả thiết AM = √5 nên ta có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

⇔ 5+ (z – 3)2 = 5 ⇔ (z – 3)2 = 0

⇔ z= 3

Do đó, tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 0; 3)

Chọn A.

Dạng 2. Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto

1. Phương pháp giải

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3); k ∈ R. Khi đó:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u (m; -2; m+1) và v(3; -2m – 4; 6). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u, v cùng phương.

A. m = 0    B. m = 2    C. m = 1    D. m = -1

Hướng dẫn giải:

* Trường hợp 1. Nếu m = -2. Khi đó,

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ -2 thì để hai vecto đã cho cùng phương khi và chỉ khi:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; -1); B( 5;4; 3). Gọi điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho AM/MB = 2. Tọa độ của điểm M là

A. (3; 4; 4)    B. (-2; 1; 3)    C. (7;6; 7)    D. (11; -1; 9)

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x; y; z). Do điểm M thuộc tia đối của BA và Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Ta có: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Do đó, có hệ phương trình:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Vậy tọa độ điểm M( 7; 6; 7)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); M(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm A,B, M thẳng hàng?

A. x = 4 và y= 7.    B. x= -4 và y= - 7.    C. x= 4 và y= - 7    D. x= - 4 và y= 7

Hướng dẫn giải:

Ta có: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Ba điểm A,B, M thẳng hàng khi AMAB cùng phương

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho a(1;-3;2); b(m+1;m-2;1-m); c(0;m-2;2) . Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Hướng dẫn giải:

Ta có: [a, b] = (m+1; 3m+1; 4m+1)

Ba vectơ abc đồng phẳng khi [a, b]c = 0

⇔ 0(m+ 1) + (m- 2).(3m+ 1) + 2(4m+ 1) = 0

⇔ 0+ 3m2 + m- 6m – 2 + 8m + 2= 0

⇔ 3m2 + 3m = 0

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -3; 4); B(1; y; -1); C(x; 4; 3). Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị P = 5x - y là:

A. - 41.    B. - 40.    C. - 23.    D. -36

Hướng dẫn giải:

Có AB(-1;y+3;-5); AC(x-2;7;-1)

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB cùng phương AC

* Trường hợp 1. Nếu x= 2 thì AC (0; 7; -1).

Ta thấy: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) không cùng phương trong trường hợp này.

* Trường hợp 2. Nếu x ≠ 2 => x - 2 ≠ 0.

Điều kiện để 2 vecto AB;AC cùng phương là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

=> P = 5x- y = - 23

Chọn C

Dạng 3. Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải

Cho a(a1; a2; a3) ; b(b1; b2; b3); k ∈ R

• Tích vô hướng của hai vecto là:

ab = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• Cosin góc tạo bởi hai vecto được xác định bởi:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( -1; 2; 4); B(-1; 1; 4) và C(0; 0; 4). Tìm số đo của ∠ABC .

A. 135o    B. 45o    C. 60o    D. 120o

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

=> ∠ABC = 1350

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; 1); B(1; 2; 1); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 45o    B. 60o    C.90o    D. 135o

Hướng dẫn giải:

Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Ta có: AB(-1;1;0); CD(-2;1;-2)

Khi đó, cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

=> φ = 45o

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45o

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(-4; 9; -9); B( 2; 12; -2); C( -m- 2; 1- m; m+ 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3    B. m = -3    C. m= 4    D. m = - 4

Hướng dẫn giải:

Ta có: BA(-6;-3;-7); BC(-m-4;-m-11;m+7)

Để tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi: BA ⊥ BC

⇔ BA . BC = 0 hay - 6( - m - 4) - 3( - m-11) – 7.(m+ 7) = 0

⇔ 6m+ 24 + 3m + 33 – 7m - 49 =0

Hay 2m + 8 = 0 ⇔ m = -4

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a(1;1;-2); b(1;0;m). Tìm m để góc giữa hai vecto đó bằng 450

A. m = 2 +√6    B. m = 2 - √6    C. m = 2 ±√6    D. m = 26

Hướng dẫn giải:

Ta cosin góc tạo bởi hai vecto đã cho là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Để góc giữa hai vecto ab có số đo 45o thì

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn B .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); C(11; -1; 6) và D( 5; 7; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?

A. Hình thang vuông.    B. Hình thoi.    C. Hình bình hành.    D. Hình vuông.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB(3;-4;2); BC(6;4;-1);CD(-6;8;-4)

Suy ra CD = -2AB

+ Do đó,hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

=> tứ giác ABCD là hình thang.

+ Lại có:

AB.BC = 3.6 + 4.(-4) + 2.(-1) = 0

=> AB ⊥ CD

=> ABCD là hình thang vuông.

Chọn A.

Dạng 4. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

1. Phương pháp giải

Định nghĩa: Cho a(a1; a2; a3); b(b1; b2; b3) . Ta có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Tính chất:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Ứng dụng:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1); B(2;1;3); C(3;2;2). Diện tích tam giác ABC bằng

A. √11/2 .    B. √3 .    C. √13/2 .    D. √14/2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Diện tích tam giác ABC là: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 1); B(-1; 2; 1) và C(-2;1; 2). Tính chiều cao AH của tam giác?

A. √2     B. √3     C. 2√2     D. √6

Hướng dẫn giải:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Diện tích tam giác ABC là: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Lại có: Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1); B( 2;1; 3); C(3; 2;2) và D(1; 1; 1). Tính chiều cao DH của tứ diện

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Diện tích tam giác ABC là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1); B(2;1;2); E(-1; 2; -2) và D(3; 1; 2). Khoảng cách từ A đến mp (DCGH) bằng

 

A. √3    B. √3/3    C. 2√3    D. 1/3

Hướng dẫn giải:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Thể tích của hình hộp ABCD.EFGH là:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Lại có:

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

+ Mặt khác

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Chọn B

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;1; -1); B(3;0;1); C( 2; -1; 3), điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:

A. (0; -7; 0)    B. (0; -7; 0) hoặc (0; 8; 0)

C.(0; 8; 0)    D. (0; 7; 0) hoặc (0; - 8; 0)

Hướng dẫn giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D( 0; y; 0).

Ta có: AB(1;-1;2), AC(0;-2;4); AD(-2;y-1;1)

[AB,AC] = (0; -4; -2); [AB,AC]AD = 0.(-2)+ (- 4). (y - 1)+ (-2).1= 2- 4y

Do thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 nên ta có :

Bài tập Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn là D1 (0; -7; 0) và D2(0; 8; 0)

Chọn B.


Phần 2: Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải

I. LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục .Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. 

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Chú ý:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

2. Tọa độ của vectơ

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

a) Định nghĩa:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

b) Tính chất: Cho Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12ta có:

+ Tổng và hiệu của hai vectơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Tích của vectơ với một số: Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hai vectơ bằng nhau: 

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Chú ý:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12cùng phươngTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12(x: hoành độ, ytung độ, z: cao độ).

Chú ý: 

M ∈ (Oxy) <=> z = 0; M ∈ (Oyz) <=> x = 0; M ∈ (Oxz) <=> y = 0;

M ∈ Ox <=> y = z = 0; M ∈ Oy <=> x = z = 0; M ∈ Oz <=> x = y = 0 

b) Tính chất: ChoTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các định nghĩa, tính chất và các khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ bao gồm:  tọa độ của điểm, vectơ; các phép toán vectơ… để tính tổng, hiệu các vectơ, tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, tìm điểm và vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước, …

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1; 2; 0); B (3; -1; 1) và C (1; 1; 1). Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm trong tam giác ABC ta có: 

Tọa độ trọng tâm Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 hay Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ của vectơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Ta có Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

NênTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (0; 1; 2), N (7; 3; 2), P (-5; -3; 2). Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãnTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

A. Q (12; 5; 2)

B. Q (-12; 5; 2)

C. Q (-12; -5; 2)

D. Q (-2; -1; 2)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vậy Q (-12 ; -5 ; 2)

Chọn C.

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ của véctơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A (2; 1; -3), B (4; 2; 1), C (3; 0; 5) và G (a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P = a.b.c?

A. P = 0.      

B. P = 3. 

C. P = 5. 

D. P = 4.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.Tính tọa độ vectơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

A. (2; 0; 0)   

B. (1; 0; 0)   

C. (3; 0; 0)   

D. (0; 2; 3) 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oxy) 

A. N (-1; -2; -3).

B. N (1; 2; 0).        

C. N (-1; -2; 3).      

D. N (1; 2; -3).

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I (-5; 0; 5) là trung điểm của đoạn MN, biết M (1; -4; 7). Tìm tọa độ của điểm N.

A. N ( -10; 4; 3).    

B. N (-2; -2; 6).      

C. N (-11; -4; 3).    

D. N (-11; 4; 3).

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2), B (7; 3; 2), C (-5; -3; 2). Tìm tọa độ điểm D thỏa mãnTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

A. D (2; -1; 2) 

B. D (-12; 5; 2)      

C. D (-12; -5; 2)     

D. D (-2; -1; 2)

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (3; 2; 1), B (1; -1; 2), C (1; 2; -1). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãnTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

A. M (-2; 6; -4)      

B. M (2; -6; 4)

C. M (-2; -6; 4)      

D. M (5; 5; 0)

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12Tìm tọa độ của véc tơTọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M (2; 0; 0), N (0; -3; 0), P (0; 0; -4). Tìm tọa độ điểm Q.

A. Q (-2; -3; -4)     

B. Q (2; 3; -4)        

C. Q (-2; -3; 4)       

D. Q (4; 4; 2)

ĐÁP ÁN

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

A

B

A

B

D

D

A

C

D

B

Phần 3: Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải

I. LÝ THUYẾT

1. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 và Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 được xác định bởi công thức:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

b) Ứng dụng của tích vô hướng

Cho vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12, khi đó độ dài của vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 được tính theo công thức:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Cho hai điểmTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Do đó ta có

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Cho vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó góc giữa hai vectơ  và  được tính theo công thức:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó: 

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

2. Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 . Tích có hướng của hai vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12kí hiệu là Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12, được xác định bởi

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất của tích có hướng:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Độ dài của vectơ tích có hướng Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Hai vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 cùng phươngTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Ba vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 đồng phẳng khi Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12không đồng phẳng hay Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

3. Ứng dụng của tích có hướng:

Ta sử dụng tích có hướng để tính:

+) Diện tích hình bình hành ABCDTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Diện tích tam giác ABC:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Thể tích tứ diện ABCD:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải: Cho hai vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12khi đó:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, choTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.Khi đó Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 bằng

A. 10

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn D.

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 , khi đó độ dài của vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12được tính theo công thức:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Độ dài vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

A. 

B. 

C. 21

D. 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải: Cho hai điểm A (xA;yA;zA) và B (xB;yB;zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Do đó ta có

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Tọa độ của điểm M là

A. M (0; 0; 3).

B. M (0; 0; 2).

C. M (0; 0; -3).

D. M (0; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Do M ∈ Oz => M (0; 0; m)

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Mặt khácTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12nên:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Suy ra M (0; 0; 3). 

Chọn A.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó góc giữa hai vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12được tính theo công thức:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

A. 450

B. 600

C. 900

D. 1350

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 .

Ta có:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó: 

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

=> φ = 450

Chọn A.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải: Cho vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó: 

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Ta kiểm tra lần lượt từng đáp án:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Suy raTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12không vuông góc vớiTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Do đó A sai. 

Có thể kiểm tra thêm 3 đáp án còn lại:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Do đó B đúng.

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Suy raTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 . Do đó C đúng.

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Do đó D đúng.

Chọn A.

2. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Cho hai vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12, khi đó:

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, choTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12Khi đó Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12có tọa độ bằng

A. (8;-12;5)

B. (8;-12;0)

C. (0;8;12)

D. (0;8;-12)

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn B. 

Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng 

Phương pháp giải:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 đồng phẳngTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Giá trị của m để Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 đồng phẳng là

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Ta có 

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Để Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 đồng phẳng thì

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A.

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Diện tích tam giác ABC:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn D.

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Thể tích tứ diện :Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 và Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khẳng định nào sau đây là sai?

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Tính Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

A. P = -10 

B. P = -40

C. P = 16

D. P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. TínhTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Khi đó Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 có tọa độ bằng

A. (0 ; 0 ; 0).

B. (1 ; 1 ; 1).

C. (2 ; 8 ; 2).

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6: Cho bốn véc tơ Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12Chọn mệnh đề đúng.

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1)Thể tích khối tứ diện ABCD là

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

A. V = 1.                   

B. V = 4.                   

C. V = 5.                   

D. V = 6.

Câu 10: Cho ba vectơTích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Chọn mệnh đề đúng:

A. Ba vectơ đồng phẳng.

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương.

D.Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

ĐÁP ÁN

  Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

D

B

A

B

A

C

D

A

C

A

Phần 4: Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải

I. LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α) . Nếu vectơCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thìCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (α) .

Chú ý:

+) NếuCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12là một VTPT của mặt phẳng (α) thìCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12cũng là một VTPT của mặt phẳng (α).

+) Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+) NếuCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thìCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12là một VTPT của (α).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0  được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

+) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT làCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 .

+) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12khácCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12làm VTPT là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

+) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α):Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với  .

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó mặt phẳng (α) có một VTPT làCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 .

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 4y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có (P): 2x – 4y + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến làCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn B.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng (α) là

 A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A (2; 0; -2) và nhậnCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là

A. x + 2y + 3z + 4 = 0.

B. x + 2y + 3z – 8 = 0.

C. x – z + 2 = 0.

D. x – z – 4 = 0.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 

1(x – 2) + 2(y – 0) + 3[z – (-2)] = 0

<=>x + 2y + 3z + 4 = 0.

Chọn A.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước.

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

+) Từ đó viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và có vectơ pháp tuyến là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Q) đi qua điểm A (1; 2; -1) và song song với (α):3x + 4y – z + 1 = 0 có phương trình là

A. 3x + 4y - z - 12 = 0

B. 3x + 4y - z + 10 = 0

C. 3x + 4y - z - 10 = 0

D. 3x + 4y - z + 12 = 0

Hướng dẫn giải:

(α) có một vectơ pháp tuyến là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Do Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì (Q) đi qua A (1; 2; -1) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 0

 <=> 3x + 4y – z – 12 = 0

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

GọiCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α), (P), (Q). Vì mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có

 Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và có vectơ pháp tuyến làCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12đã tính phía trên.

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. Gọi (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với cả (P) và (Q). Khi đó phương trình mặt phẳng (R) là

A. 2x – y + 2z = 0.    

B. 2x + y – 2z = 0

C. 2x + y – 2z + 1 = 0

D. 2x – y – 2z = 0.

Hướng dẫn giải:

Gọi Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12lần lượt là véctơ pháp tuyến của (P), (Q), (R).

Theo bài ra ta cóCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì mặt phẳng (R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên ta có: 

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì (R) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ O (0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (R) là:

2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0

<=> 2x + y – 2z = 0

Chọn B.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

GọiCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (P).

Vì mặt phẳng (α) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên ta có:

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A (hoặc B) và có vectơ pháp tuyến là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12đã tính phía trên.

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua A (2; -1; 4), B (3; 2; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + 2z – 3 = 0. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình là

A. 11x + 7y – 2z – 21 = 0.                        

B. 11x + 7y + 2z + 21 = 0.

C. 11x – 7y – 2z – 21 = 0                         

D. 11x – 7y + 2z + 21 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) làCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nhậnCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình:

11(x – 2) – 7(y + 1) – 2(z – 4) = 0

<=>11x – 7y – 2z – 21 = 0.

Chọn C.

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C cho trước.

Phương pháp giải:

Gọi Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Vì mặt phẳng (α) đi qua A, B, C nên ta có 

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A (hoặc B, hoặc C) và có vectơ pháp tuyến là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 đã tính phía trên.

Ví dụ 6: Cho M (0; 3; -5), N (1; 0; 6), E (-4; 3; 0). Phương trình mặt phẳng (MNE) là:

A. 15x + 49y + 12z - 87 = 0

B. 15x + 49y + 12z - 207 = 0

C. 15x + 49y + 12z + 87 = 0

D. 5x + 13y + 4z - 19 = 0

Hướng dẫn giải:

Ta có :Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Suy ra phương trình mặt phẳng (MNE) có một vectơ pháp tuyến làCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Vì mặt phẳng (MNE) đi qua N (1; 0; 6) nên phương trình mặt phẳng (MNE) là

15(x – 1) + 49(y – 0) + 12(z – 6) = 0

<=> 15x + 49y + 12z – 87 = 0 

Chọn A. 

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) (abc ≠ 0) . (Phương trình đoạn chắn)

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) (abc ≠ 0) thì phương trình (α) có dạng

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2) là

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua 3 điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 

Chọn D.

Dạng 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, mặt phẳng (P) qua điểm A, B và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng  . Viết phương trình mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 > 0) .

+ Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d.

+ Áp dụng điều kiện về góc giữa hai mặt phẳng Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d, khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c).

+ Từ mối liên hệ giữa a, b ta chọn a để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P).

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; 0) và N (0; 0; -1), mặt phẳng (P) qua điểm M, N và tạo với mặt phẳng (Q): x – y – 4 = 0 một góc bằng  . Phương trình mặt phẳng (P) là

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Suy raCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 > 0) .

+ (P) qua M (1; 0; 0) => a + d = 0 (1)

   (P) qua N (0; 0; -1) => -c + d = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a + c = 0 hay c = -a

+ (P) hợp với (Q) góc 450 

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Với a = 0 c = 0, chọn b = 1 ta được phương trình (P): y = 0. 

Với a = -2b chọn b = -1 suy ra a = 2, phương trình mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 2 = 0.

Chọn A.

Dạng 9: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng d.

Phương pháp giải:

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 > 0) .

+  Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B lần lượt thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm được hai mối liên hệ giữa a, b, c, d.

+ Áp dụng điều kiện về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 tìm được mối liên hệ giữa a, b, c, d; khử điều kiện để tìm được mối liên hệ giữa a, b (hoặc b, c; a, c).

+ Từ mối liên hệ giữa a, b chọn để tìm b rồi suy ra phương trình mặt phẳng (P).

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-1; 1; 0), B (0; 0; -2) và C (1; 1;1 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằngCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

+ Gọi Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12là véctơ pháp tuyến của (P).

+ Gọi phương trình của mặt phẳng (P) là ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 > 0) .

+ (P) qua A (-1; 1; 0) => -a + b + d = 0. Suy ra b + d = a (1)

   (P) qua B (0; 0; -2) => -2c + d = 0. Suy ra d = 2c (2)

Từ (1) và (2) suy ra b = a – d = a – 2c

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

+ a = c chọn a = c = 1 

=> phương trình mặt phẳng (P) : x – y + z + 2 = 0.

+ a = 7c chọn a = 7 ; c = 1 

=> phương trình mặt phẳng (P) : 7x + 5y + z + 2 = 0.

Chọn B.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): 2x + 3z – 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (α) ?

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (3; -2; 1) và B (5; -4; 3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A. x – y + z + 5 = 0.  

B. x – y + z + 11 = 0.

C. x – y + z – 6 = 0.  

D. x – y + z – 9 = 0.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 có phương trình là

A. x – 2y + z = 0.      

B. x + 2y + 3z = 0.    

C. x – 2y + z + 3 = 0

D. x – 2y + z – 8 = 0.

Câu 4. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M (0; 1; 2), N (-3; 0; 8), E (4; -5; 0) là:

A. 19x + 9y + 11z – 23 = 0.                      

B. 19x + 15y + 11z – 37 = 0.

C. 19x + 9y + 11z – 31 = 0.                      

D. -17x + 9y + 11z – 31 = 0.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (4; 3; 2), B (-1; -2; 1), C (-2; 2; -1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

A. x – 4y – 2z – 4 = 0.                              

B. x – 4y – 2z + 4 = 0.                              

C. x – 4y + 2z + 4 = 0.                              

D. x + 4y – 2z – 4 = 0.

Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A (-1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; -2) có phương trình là

A. -2x + y + z – 2 = 0.                              

B. -2x – y – z + 2 = 0.                               

C. -2x + y – z – 2 = 0.                               

D. -2x + y – z + 2 = 0.

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (α) là mặt phẳng qua các hình chiếu của A (5; 4; 3) lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng (α) 

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) bằngCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 9: Trong không gian Oxyz biết mặt phẳng ax + by + cz + 5 = 0 qua A (1; 2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0, (Q): 2x – y + z – 5 = 0. Giá trị a + b - c bằng

A. 3. 

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho A (1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 15 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằngCác bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

ĐÁP ÁN

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

C

D

A

C

B

C

B

A

B

C

Phần 5: Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập

I. LÝ THUYẾT

1.  Vectơ chỉ phương của đường thẳng

-  VectơPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12 khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12 song song hoặc trùng với đường thẳng d.

-  NếuPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d => đường thẳng d có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.

-  Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phươngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12của nó.

2.  Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng

-  Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phươngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là phương trình có dạngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12 trong đó t là tham số.

-  NếuPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12thì ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc như sau:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng

Phương pháp giải:

Đường thẳngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12, hoặcPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12thì d đi qua M0(x0;y0;z0) và có 1 VTCP Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12 .

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là 1 VTCP của d thì   cũng là 1 VTCP của d.

Một số dạng thường gặp:

+) d qua hai điểm A, B thìPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là 1 VTCP của d.

+) (d) ⊥ (P): Ax + By + Cz + D = 0 thì (A; B; C) là 1 VTCP của d.

+) (d) || (Δ) mà (Δ) có VTCP Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12cũng là 1 VTCP của d.

+) (d) = (P) ∩ (Q) thìPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là 1 VTCP của d.

+) (d) ⊥ (d1)  (d) ⊥ (d2) thìPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là 1 VTCP của d.

+) (d) || (P) và (d) ⊥ (Δ) thìPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là 1 VTCP của d.

Ví dụ 1: Trong không gian cho A (1; 1; 0) và B (0; 1; 2). Vectơ nào sau đây là một VTCP của đường thẳng AB?

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải: 

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12  

Chọn B. 

Ví dụ 2: Cho (P): 3x – y + 2z – 7 = 0 và (Q): x + 3y – 2z + 3 = 0. Biết d là giao tuyến của (P) và (Q), một VTCP của d là:

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:  

(P) có vectơ pháp tuyến làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

(Q) có vectơ pháp tuyến làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì d là là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta cóPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ta chọn VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A. 

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phươngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ là:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B. 

+) Xác định vectơ chỉ phương của Δ làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A và có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M và có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu đường thẳng Δ song song với trục Ox thì có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Nếu đường thẳng Δ song song với trục Oy thì có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Nếu đường thẳng Δ song song với trục Oz thì có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α)

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

+) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M và có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M (1; 2; -3) và có vectơ chỉ phươngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:  

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2; 3; -1), B (1; 2; 4), phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:  

Đường thẳng d đi qua điểm A và nhậnPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12làm vectơ chỉ phương.

Nên phương trình đường thẳng d là:  

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M (4; -2; 2) và song song với đường thẳngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:  

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng d nênPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì Δ đi qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng Δ là:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A (-2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – 3y + 6z + 19 = 0.

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:  

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nênPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì Δ đi qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng Δ là:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn C.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d1 và thỏa mãn điều kiện khác 

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) , vuông góc và cắt đường thẳng d.

Phương pháp giải:

Gọi H = (Δ) ∩ d

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiệnPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Δ là đường thẳng đi qua 2 điểm M và H. 

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 3; -1) và đường thẳngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12Gọi Δ là đưởng thẳng qua M, vuông góc và cắt d. Viết phương trình của Δ

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:  

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Gọi N là giao điểm của Δ và d. Vì N ∈ d => N (2t; 4t; 3 + t).

Suy raPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Khi đó:Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Suy ra Δ có một vectơ chỉ phương làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12. Mà Δ đi qua M nên phương trình đường thẳngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn C

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Phương pháp giải:

Gọi B = Δ ∩ d2.

Tìm tọa độ điểm B từ điều kiệnPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Δ là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. 

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -1; 3) và hai đường thẳng: Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Gọi: Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Đường thẳng d nhậnPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là một VTCP.

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ta có:  

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) và nhậnPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12là một VTCP nên phương trình đường thẳng d làPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn C

Loại 3: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1 và d2 

Phương pháp giải:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d1, d và d2.

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12cùng phươngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12.Từ đó tìm ra A và B. 

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) và hai đường thẳngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d1 ;dtại hai điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Vì A thuộcPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12nên A (1 + 2t; 1 – t; -1 + t).

Vì B thuộcPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12nên B (-2 + 3t’; -1 + t’; 2 + 2t’).

Suy raPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ta có A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Với t = 1, t’ = 2 ta được A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy raPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A. 

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian cho đường thẳngPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12Một vectơ chỉ phương của d là: 

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 2: Trong không gian cho M (1; 2; 3). Gọi M1;M2 lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy. Vectơ nào sau đây là VTCP của M1,M2 ?

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 3: Trong không gian cho điểm A (0; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 4 = 0. Đường thẳng Δ qua A, cắtPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12và song song với (P) có một VTCP là:

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 4: Trong không gian cho đường thẳng d có phương trìnhPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12. Một vectơ chỉ phương của d là

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3; -2; 0), B (1; 1; 4), C (-5; 3; 2), viết phương trình đường thẳng AM với M là trung điểm của đoạn thẳng BC

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (5; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). 

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 4), B (-1; 5; 1), C (3; 2; 1) và mặt phẳng (α): - x + 4y – 2z + 6 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với (α).

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz choPhương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12điểm A (3; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng Δ qua A, cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với đường thẳng Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P): 2x + y = 0. 

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết | Toán lớp 12

ĐÁP ÁN

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

D

D

B

C

D

B

D

D

A

C

Phần 6: Phương trình mặt cầu và cách giải

I. LÝ THUYẾT

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là: (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (1)

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng (S) : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (2) với d = a2 + b2 + c2 - R2

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện a2 + b2 + c2 - d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính làPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Đặc biệt nếu mặt cầu (S) cóPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12thì phương trình mặt cầu (S) là (S): x2 + y2 + z2 = R2

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu.

Phương pháp giải:

Xét phương trình (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R

+) Xét phương trình (S) : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

Khi đó mặt cầu có Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là a2 + b2 + c2 - d > 0.

+) Đặc biệt: (S): x2 + y2 + z2 = R2, suy ra (S) cóPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 9. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. I (-1; 2; 1) và R = 3.           

B. I (1; -2; -1) và R = 3.

C. I (-1; 2; 1) và R = 9.           

D. I (1; -2; -1) và R = 9.

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 9 , ta có tâm I(-1;2;1) vàPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z - 2 = 0. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4.                   

B. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4.

C. Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4.                    

D. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16.

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z - 2 = 0, ta có:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình (S):x2 + y2 + z2 + 2(3 - m)x - 2(m + 1)y - 2mz + 2m2 + 7 = 0. Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu.

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Gọi tâm của mặt cầu là I (a ; b ; c) và bán kính là R.

Ta có : a = m – 3, b = m + 1, c = m, d = 2m2 + 7.

(S) là mặt cầu <=> a2 + b2 + c2 - d > 0 

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn C.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Phương pháp giải:

Bước 1:  Xác định tâm I (a; b; c).

Bước 2:  Xác định bán kính R của (S). 

Bước 3: Thế vào phương trình (S):

Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.

(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính bằng 4

A. (S): (x + 1)2 + (y - 2)+ z2 = 16

B. (S): (x + 1)2 + (y - 2)+ z2 = 4

C. (S): (x - 1)2 + (y - 2)+ z2 = 16

D. (S): (x - 1)2 + (y - 2)+ z2 = 4

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4

Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được  (S):  (x + 1)2 + (y - 2)2 + z= 16

Chọn A

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và đi qua điểm A.

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Tâm B (2; -1; 2).

Bán kínhPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vậy phương trình mặt cầu là: (S): (x - 2)2 + (y + 1)+ (z - 2)2 = 24  

Chọn B.

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

A. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 4

B. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 9

C. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 3

D. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 5

Hướng dẫn giải :

Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là .

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 4

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d.

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I. Tìm H.

Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 và điểm I (1; -2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với d là

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t). Suy raPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 .

Vectơ chỉ phương của d là Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12  

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên 

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Suy raPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vậy phương trình mặt cầu là (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 50

Chọn B.

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R = IA.

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R đã tính bên trên.

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 tại hai điểm A, B với AB = 16.

A. (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 76

B. (x - 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 76

C. (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 56

D. (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 66

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t). Suy raPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương làPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nênPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Suy raPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vì AB = 16 nênPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Khi đó phương trình mặt cầu là (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 76

Chọn A.

Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C)

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầuPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S)

Ví dụ 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) và mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là  20π.

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Ta có : Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Vậy (S):Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn B. 

Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d đã cho trước.

Giả sử điểm I là tâm của mặt cầu và đường thẳng d có phương trình d:Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Khi đó nếu I ∈ d thì ta có I(x0 + at;y0 +bt;z0 + ct)

Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán lập một phương trình theo biến t để giải

=> Tọa độ tâm I

Bước 3: Xác định bán kính R của mặt cầu

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S).

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳngPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β): x + 2y + 2z + 7 = 0.

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Hướng dẫn giải:

Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t). Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

HayPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Thay vào phương trình khoảng cách ta được Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12. Vậy phương trình mặt cầu:Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Chọn D

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1 : Mặt cầu (S):(x - 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 9 có tâm I là :

A. I (1 ; -2 ; 0).

B. I (-1 ; 2 ; 0).

C. I (1 ; 2 ; 0).

D. I (-1 ; -2 ; 0). 

Câu 2 : Mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = 0 có tâm là :

A. I (8 ; -2 ; 0).

B. I (-4 ; 1 ; 0).

C. I (-8 ; 2 ; 0). 

D. I (4 ; -1 ; 0). 

Câu 3 : Mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 4x + 1 có tọa độ tâm I và bán kính R là :

A. I (2; 0; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

B. I (2; 0; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 

C. I (0; 2; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

D. I (-2; 0; 0),Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12 

Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. x2 + y2 + z2 - 2x = 0

B. x2 + y2 + z2 + 2x - y + 1 = 0

C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1

D. (x + y)2 = 2xy - z2 - 1

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 4x + 8y - 2az + 6a = 0. Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận những giá trị nào?

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = 4 có phương trình

A. (x - 1)2 + (y - 3)2 + (x - 2)2 = 4

B. (x - 1) + (y - 3) + (x - 2) = 16

C. (x - 1)2 + (y - 3)2 + (x - 2)2 = 16

D. (x - 1)2 + (y - 3)2 + (x - 2)2 = 8

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4). 

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (-1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là

A. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 3

B. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 9

C. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 3

D. (x +1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 9

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4 = 0 cắt mặt phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C). 

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Câu 11:  Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có tâm thuộcPhương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

Phương trình mặt cầu và cách giải hay, chi tiết | Toán lớp 12

ĐÁP ÁN

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Đáp án

A

D

A

A

A

B

C

B

B

A

D

Tài liệu có 134 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống