Chuyên đề Hình nón, khối nón 2022 hay, chọn lọc

Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Hình nón, khối nón thuộc chương trình Toán 12. Chuyên đề gồm 37 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 12.

Chuyên đề Hình nón, khối nón

Phần 1: Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

1. Sự tạo thành mặt tròn xoay

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ và một đường C. Khi quay mặt phẳng (P) quanh Δ một góc 360º thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc Δ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với Δ. Như vậy, khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng Δ thì đường C sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng Δ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

 

2. Tính chất của mặt tròn xoay

- Nếu cắt mặt tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Δ ta được phần giao là đường tròn có tâm thuộc Δ.

- Mỗi điểm M trên mặt tròn xoay đều nằm trên một đường tròn thuộc mặt tròn xoay và đường tròn này có tâm thuộc trục Δ.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SC = a√6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a√2

+ Xét tam giác SAC có:
SA = Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải = 2a

+ Hình nón tròn xoay được tạo thành có bán kính đường tròn đáy r = AC = a√2 ; đường cao SA = 2a. Do đó, thể tích hình nón là:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2 Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, AB = a√7 ; BC = 4a. Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Do tam giác ABC là tam giác cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH ⊥ BC

Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có:

+ Đường sinh l = AB = a√7

+ Bán kính đáy r = Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải = 2a

Suy ra đường cao của hình nón là:
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

+ Thể tích của hình nón tạo thành là:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 3 Cho một hình cầu bán kính 5, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. ( kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

A.18,18    B. 19,19    C. 19,2.    D. 17,16

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Gọi thiết diện là đường tròn tâm A, đường kính d= 4 ⇒ bán kính r = 2. Gọi MN là một đường kính của đường tròn (A).

Gọi O là tâm của mặt cầu đã cho.

Hình nón có đáy là thiết diện là hình tròn tâm A và đỉnh là O có:

• Bán kính đường tròn đáy là: r = 2.

• Đường sinh là OM = 5 ( = bán kính của hình cầu đã cho)

• Chiều cao:
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Diện tích đường tròn đáy là: S = πr2 = 4π

Thể tích khối nón cần tính là:
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn C

Phần 2: Lý thuyết Hình nón, khối nón

1) Mặt nón tròn xoay

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    + Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 90º. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).

    + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

 

2) Hình nón tròn xoay

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    + Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

    + Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

    + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    + Diện tích đáy (hình tròn):

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    + Diện tích toàn phần hình tròn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    + Thể tích khối nón:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4) Tính chất:

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh: Sxq = πRl

    + Diện tích đáy (hình tròn): Sđ = πR2

    + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Sđ + Sxq = π.r.l+πr2

    + Thể tích khối nón:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác SOA có: h=SO=3a;r=AO=4a

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Diện tích xung quanh: Sxq=πRl=π.4a.5a=20πa2

Diện tích toàn phần: Stp= πRl+πR2=20πa2+25πa2=45πa2

Thể tích của hình nón là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Diện tích xung quanh:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

là thể tích của khối nón ban đầu

⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Phần 3: Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh: Sxq = πRl

    + Diện tích đáy (hình tròn): Sđ = πR2

    + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Sđ + Sxq = π.r.l+πr2

    + Thể tích khối nón:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác SOA có: h=SO=3a;r=AO=4a

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Diện tích xung quanh: Sxq=πRl=π.4a.5a=20πa2

Diện tích toàn phần: Stp= πRl+πR2=20πa2+25πa2=45πa2

Thể tích của hình nón là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Diện tích xung quanh:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

là thể tích của khối nón ban đầu

⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một cạnh bên và đáy bằng 60º, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC là?

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Gọi O là tâm tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO⊥(ABC), ∆ABC đều cạnh a.

OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt (ABC)

⇒ Góc giữa SA và mặt (ABC) là góc ∠(SAO)=60º

Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét tam giác SAO có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xét hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB = 2a. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích của khối nón được tạo thành.

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Quay tam giác ABC vuông cân tại A xung quanh cạnh AB ta được hình nón có

R=h=AB=2a;

l=BC=AB√2=2a√2

Thể tích của khối nón được tạo thành:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Phần 4: Thiết diện của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

Sxq = πRl = π.a.2a = 2πa2

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Thể tích khối nón là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    + Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 4: Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện tích bằng 64π/9 . a2. Khi đó, thể tích của khối nón (N) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đáy là hình tròn tâm O’ có bán kính r

Diện tích của thiết diện:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Theo giả thiết, SO = 3a, OO’ = a ⇒ SO’ = 2a

Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy thể tích khối chóp là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 5: Tính diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng √3 và thiết diện qua trục là tam giác đều.

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Thiết diện là ∆SAB, đặt AB = a.

Xét ∆SOB vuông tại O, OH là đường cao có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Phần 5: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

1. Phương pháp giải

Cho hình nón (H) có bán kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l.

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:
Sxq = πR.l

+ Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện đáy:
Stp = πR.l + πR2

+ Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích hình tròn đáy và chiều cao:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600.Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = 600 .

Trong tam giác vuôn SAO, ta có:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = πRl = π.Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay .a√2 = πR2

Thể tích của khối nón tròn xoay
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay (đvtt)

Chọn A

Ví dụ 2. Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 1200. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

A. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    B. πa3    C. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    D. 2πa3

Hướng dẫn giải:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.

Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính là:

 

Do góc ở đỉnh là 1200 nên Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:
SO = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = a

Do đó chiều cao hình nón là h = SO= a.

Vậy thể tích khối nón là
V = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay πr2h = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay π.3a2.a = πa3

Chọn B.

Ví dụ 3. Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa2 . Thể tích khối nón là:

A. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    B. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    C. 2πa3    D. √2πa3

Hướng dẫn giải:

Ta có độ dài đường sinh là l = 2a .

Do diện tích xung quanh là 2πa2 nên :

Sxq = π.R.l = 2πa2 ⇒ R = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = a

Chiều cao của hình nón là:
h = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = √3a

Thể tích của khối nón là
V = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay πR2h = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay π.a2.√3 = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Chọn A.

Ví dụ 4. Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a2. Diện tích xung quanh của (N) là:

A. 6πa2    B. √2πa2    C. 6√2πa2    D. 3√2πa2

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Do cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón nên thiết diện qua trục là mặt phẳng (SAB) – với AB là đường kính của đường tròn đáy.

Theo giả thiết tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S và có diện tích 3a2 nên

SABC = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay SA2 = 3a2 ⇒ SA = √6a

Khi đó, độ dài đường sinh của hình nón là

l = SA = √6a

Do tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S nên
AB = SA.√2 = √6a.√2 = 2√3a

Suy ra, đường cao của hình nón là:

h = SO = AB/2 = √3a

Bán kính đường tròn đáy là R = AB/2 = a√3 .

Diện tích xung quanh của (N) là:

Sxq = π.R.l = π.a√3.a.√6 = 3√2πa2

Chọn D

Ví dụ 5. Cho hình tròn có bán kính bằng 6. Cắt bỏ 1/4 hình tròn giữa hai bán kính OA và OB, rồi ghép hai bán kính đó lại sao cho hình thành một hình nón ( hình vẽ ). Tính thể tích khối nón tương ứng

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Diện tích hình tròn có bán kính bằng R = 6 là: Stron = πR2 = π62 = 36π

Cắt bỏ 1/4 hình tròn thì diện tích còn lại chính là diện tích xung quanh của nón. Đường sinh của nón là bán kính đường tròn: l = R = 6

Diện tích xung quanh của nón là:
Sxq = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay Stron = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay .36π = 27π (1)

Lại có: Sxq = π.r.l = π.r.6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: π.r.6 = 27π ⇒ r = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Khi đó, đường cao hình nón là:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Thể tích khối nón tương ứng là:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Chọn A.

Phần 6: Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

1. Phương pháp giải

* Trường hợp 1. Thiết diện qua trục của hình nón: mp (P) đi qua trục của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.

Cách vẽ hình: trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Thiết diện qua trục của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:

• Thiết diện qua trục là một tam giác vuông

• Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân

• Thiết diện qua trục là một tam giác đều

• Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng số độ cho trước (60 độ hay 120 độ.)

• ….

* Trường hợp 2. Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mp(P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện cũng là tam giác cân.

Cách vẽ hình: trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Lưu ý: Khi vẽ thiết diện qua đỉnh, nếu kẻ OH ⊥ AB thì theo tính chất đường kính và dây cung của đường tròn (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung và ngược lại), thì H chính là trung điểm của AB. Khi đó góc giữa mặt phẳng (SAB) với đường tròn đáy chính là Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay .

* Trường hợp 3.Thiết diện vuông góc với trục của hình nón và song song với đường tròn đáy hình nón: mp(P) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.

Cách vẽ hình: trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O’.

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

* Trường hợp 4. Thiết diện cắt mọi đường sinh của hình nón: mp (P) cắt mọi đường sinh hình nón ⇒giao tuyến là 1 đường elip.

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

* Trường hợp 5. Thiết diện song song với 1 đường sinh của hình nón: mp(P) song song với 1 đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là 1 đường parabol.

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thiết diện qua trục một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2√3 . Thể tích của khối nón này là

A. √3π    B. 3√3π    C. 3π    D. 3√2π

Hướng dẫn giải:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+Gọi thiết diện qua trục là tam giác SAB, tâm đường tròn đáy là O. Khi đó, tam giác SAB có cạnh huyền

+ Xét tam giác SAB vuông cân tại S có SO là đường trung tuyến nên:

SO = AO = Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay AB = Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay 2√3 = √3

⇒ Bán kính đường tròn đáy là: r = AO = √3 ; đường cao của hình nón là h = SO = √3

+Thể tích của hình nón là:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 600 là tam giác đều cạnh bằng 4. Thể tích của khối nón đó là:

A. 9π    B. 4√3π    C. 3π    D. 7π

Hướng dẫn giải:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+Gọi thiết diện qua đỉnh S là tam giác SAB, tâm đường tròn đáy là O.

+ Xác định góc giữa (SAB) và đáy:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Suy ra ((SAB);(O)) = (OH;SH) = Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay = 600

+ Do tam giác SAB đều cạnh 4 nên SH = 2√3

+Xét tam giác SOH có
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+Xét tam giác OAH có:
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Thể tích hình nón đã cho là
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = a và bán kính đáy r = Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay . Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay . Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Gọi mặt phẳng qua đỉnh là mp( SAB).

+ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB):

Từ O kẻ OH⊥AB ( HA = HB) , nối SH, từ O kẻ OK⊥SH

⇒ OK⊥(SAB) ⇒ d(O,(SAB)) = OK = Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Xét tam giác SOH có :

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Tam giác OAH có:
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+Vậy diện tích tam giác SAB là:
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Chọn B.

Ví dụ 4. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác có góc ở đỉnh bằng 1200. Gọi V là thể tích khối nón. Khi đó V bằng:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB. Khi đó, AB là đường kính của đường tròn đáy.

⇒ AB = 2r = 2a

+ Góc ở đỉnh bằng 1200 nên
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Xét tam giác SAO:
h = SO = OA.cot600 = Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Thể tích của khối nón là:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Chọn C.

Ví dụ 5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Diện tích của thiết diện qua đỉnh bằng

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Gọi thiết diện qua trục là tam giác SAC, thiết diện qua đỉnh là tam giác SBC, góc giữa (SBC) và đáy là
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay = 600

+ Tam giác SAC vuông cân tại S có cạnh góc vuông bằng a nên AC = √2a

Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

+ Diện tích tam giác SBC là:
Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay

Chọn B.

Phần 7: Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

1. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆,một đường thẳng l cắt đường thẳng ∆ tại O và không vuông góc với ∆. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SC = a√6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a√2

+ Xét tam giác SAC có:
SA = Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải = 2a

+ Hình nón tròn xoay được tạo thành có bán kính đường tròn đáy r = AC = a√2 ; đường cao SA = 2a. Do đó, thể tích hình nón là:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2 Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, AB = a√7 ; BC = 4a. Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Do tam giác ABC là tam giác cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH ⊥ BC

Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có:

+ Đường sinh l = AB = a√7

+ Bán kính đáy r = Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải = 2a

Suy ra đường cao của hình nón là:
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

+ Thể tích của hình nón tạo thành là:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 3 Cho một hình cầu bán kính 5, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. ( kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

A.18,18    B. 19,19    C. 19,2.    D. 17,16

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Gọi thiết diện là đường tròn tâm A, đường kính d= 4 ⇒ bán kính r = 2. Gọi MN là một đường kính của đường tròn (A).

Gọi O là tâm của mặt cầu đã cho.

Hình nón có đáy là thiết diện là hình tròn tâm A và đỉnh là O có:

• Bán kính đường tròn đáy là: r = 2.

• Đường sinh là OM = 5 ( = bán kính của hình cầu đã cho)

• Chiều cao:
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Diện tích đường tròn đáy là: S = πr2 = 4π

Thể tích khối nón cần tính là:
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn C

Ví dụ 4 Hình chữ nhật ABCD có AB = 6; AD = 4. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng:

A. V = 8π    B. V = 6π    C. V = 4π    D. V = 2π

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, suy ra MNPQ là hình thoi tâm O.

Ta có:
QO = ON = Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải AB = 3 và OM = OP = Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải AD = 2

Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là Q; N và chung đáy.

* Bán kính đáy OM = 2

* Chiều cao hình nón OQ = ON = 3

Vậy thể tích khối tròn xoay
Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn A.

Ví dụ 5 Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, CD = 4a cạnh bên AD = BC = 3a . Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Hướng dẫn giải:

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

+ Gọi giao điểm của AD và BC là E.

Do ABCD là hình thang nên AB // CD

Lại có: CD = 2AB nên Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

⇒ AB là đường trung bình của tam giác EDC

⇒ ED = 2AD = 6a

+ Gọi H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vuông góc với CD và HK là trục đối xứng của ABCD

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Khối tròn xoay sinh bởi hình thang ABCD khi quay quanh trục của nó chính là phần thể tích nằm giữa hai khối nón:

+ Khối nón : Có đáy là hình tròn tâm K, bán kính KD = 2a, đường cao EK = 4a√2

+ Khối nón : Có đáy là hình tròn tâm H, bán kính HA = a, đường cao EH = 2a√2

Do đó thể tích cần tìm là

Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải

Chọn A.

Tài liệu có 37 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống