Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc

Tải xuống 58 1.1 K 26

Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Khoảng cách thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 58 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Chuyên đề Khoảng cách

Phần 1: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:

   + Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH

   + Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH.

- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:

   + Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + MH là đường cao của tam giác MAB thì Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a               B. 4a               C.3a               D. 5a

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2

+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án B

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH

⇒ tam giác SAH vuông tại S.

Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

(Định lý 3 đường vuông góc)

⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều).

+ AC vuông góc ( BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C.

⇒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° . Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d(A; SC) = AH

+ Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ AC = a

+ Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Trong tam giác vuông ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

+ Kẻ OH ⊥ SC , khi đó d(O; SC) = OH

+ Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên : ∠SDO = α

Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d(O, SD) = OH

Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2

+ Xét tam giác vuông OHD:

OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα

Phần 2: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2a                 B. a√3                  C. a                 D. a√5

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Kẻ AH ⊥ SB

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC)

⇒ d(A; (SBC)) = AH

Trong tam giác vuông SAB ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

Kẻ AH ⊥ SD

Ta có: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11 nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH     (1)

Lại có; AH vuông góc SD (2)

Từ (1); (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) và d(A, (SCD)) = AH

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)

Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

nên suy ra d(O; (SBC)) = OH.

Ta có: OM = (1/3).AM = (a√3)/3

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Phần 3: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

TH1: Dựng đường thẳng AH // (α) .

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lúc đó: d(A, (α)) = d(H, (α))

TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I} .

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lúc đó: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ta có; AB // CD nên d(B, (SCD))= d(A; (SCD)).

Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) :

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H .

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều).

Lại có: SA = SB = SC ( vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d(A, (SBC))= 3.d(O; (SBC)) = 3OH.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn B

Ta có:

Gọi H là hình chiếu của J lên AB

Gọi Z là hình chiếu của G lên AB

Gọi I là hình chiếu của G lên SZ.

+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC)

Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp (ABC) là 60° nên ∠SCG = 60°

Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = (a√3)/2 và CG = 2/3.CM = (a√3)/3

Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC√3 = ((a√3)/3).√3 = a

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.

Khi đó d(C, (SMN)) = 3 d(G; (SMN))= 3 GF

Ta có :

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn A

Phần 4: Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

   + Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

   + Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn C

Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Vì DC // AB nên DC // (SAB)

⇒ d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB))

Kẻ DH ⊥ SA

Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)

⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA

⇒ DH ⊥ (SAB)

Nên d(CD; (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên

MN // AB

⇒ MN // (ABC)

Khi đó, ta có:

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

(vì M là trung điểm của OA).

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO ⊥ (ABCD) .

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn đáp án D

Phần 5: Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay

A. Phương pháp giải

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước:

   + Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất.

   + Bước 2: Kết luận: d((P); (Q)) = d(A; (Q)).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng(MNP) và (ACC’).

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ MN // AC    (1)

+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD'

Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ( MNP) // (ACC’)

+ Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D'O ⊥ (AA'C'C) và d(D’; (ACC’)) = D’O.

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

+ Vì tam giác ABC đều và AA’ = BA’ = CA’ (giả thiết) nên A’.ABC là hình chóp đều.

Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC

Lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠A'AH = 60°.

+ Xét tam giác AHA’ có: A'H = AH.tan60° = ((a√3)/3).√3 = a

+ lại có; (ABC) // (A’B’C’) ( định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d( A’, (ABC)) = A’H = a

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A’lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A’H ⊥ (ABC). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên ∠A'AH = 60°

+ Xét tam giác A’HA vuông tại H ta có: A’H = AA’.sin60° = (a√3)/2.

+ Do (ABC) // ( A’B’C’) (định nghĩa hình lăng trụ) nên d((ABC); (A’B’C’)) = d(A’; (ABC)) = A’H = (a√3)/2

Chọn đáp án A

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.AB’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Do hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB’ = AC’.

⇒ tam giác AB’C’ là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến (do AH ⊥ (A'B'C')

⇒ HB’ = HC’ và A’H = AC.sin60° = (a√3)/2

+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH ⊥ (A’B’C’) nên ∠AA'H = 30°

Xét tam giác AA’H vuông tại H có:

AH = A’H.tan(AA'H) = (a√3)/2.tan30° = a/2

Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D; cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằng :

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Xét hai mp(AB’C) và (A’DC’) có:

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

+ Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình chiếu của D’ trên O’D suy ra I là hình chiếu của D’ trên (A’DC’)

ta có: B’D’ = a√2 và O’D’ = (1/2)B'D' = (a√2)/2

+ xét tam giác O’D’D vuông tại D’ có:

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay - Toán lớp 11

Vậy d((AB’C) ; (A’DC’)) = (a√3)/3

Chọn đáp án D

Phần 6: Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

A. Phương pháp giải

* Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.

Trường hợp 1: Δ và Δ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

+ Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ' và vuông góc với Δ tại I .

+ Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ IJ ⊥ Δ'

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ') = IJ.

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Trường hợp 2: Δ và Δ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau

+Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa Δ' và song song với Δ.

+ Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống (α) bằng cách lấy điểm M ∈ Δ dựng đoạn MN ⊥ (α), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với Δ.

+ Bước 3: Gọi H = d ∩ Δ' , dựng HK // MN

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ') = HK = MN

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Hoặc

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) ⊥ Δ tại I .

Bước 2: Tìm hình chiếu d của Δ' xuống mặt phẳng (α).

Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ ⊥ d, từ J dựng đường thẳng song song với Δ cắt Δ' tại H , từ H dựng HM // IJ.

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(Δ, Δ') = HM = IJ.

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với đáy (ABCD). Gọi K; H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK

B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD

C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH

D. Các khẳng định trên đều sai

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

+ Ta xét các phương án:

- Phương án A:

Giả sử AK ⊥ AC, do AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ (ABC)

⇒ AK ≡ SA ( vì SA ⊥ (ABC)) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ΔSAD có 2 góc vuông (vô lý)

- Phương án B:

Theo tính chất của hình vuông thì AC và CD không vuông góc với nhau nên đoạn vuông góc chung của AC và SD không phải CD.

- Phương án C:

Giả sử AC ⊥ OH, do AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SO

Lại có: SA ⊥ AC ⇒ vô lý.

⇒ Đoạn vuông góc chung của AC và SD không phải là OH.

Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Chọn C

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

+ Xét tam giác ACD đều có NA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NA = (a√3)/2.

Tương tự: NB = (a√3)/2.

⇒ NA = NB nên tam giác ANB cân tại N

suy ra đường trung tuyến NM đồng thời là đường cao: NM ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC, nên d(AB; CD) = MN.

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC

Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.

+ Ta có:

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)

⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.

Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5; BC = a√2. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Lại có; DC ⊥ BC nên DC là đoạn vuông góc chung của SD và BC

⇒ d(SD; BC) = DC.

Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC có

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Chọn đáp án D

Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và AB.

Ta chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

+ Do ABCD là tứ diện đều nên ΔACD = ΔBCD

⇒ AM = BM

⇒ Tam giác MAB cân tại M có MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ MN ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có: MN ⊥ CD

⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

⇒ d( AB; CD) = MN

+ Ta có: NB = AB/2 = a/2.

Tam giác BCD đều cạnh a nên BM = BC.sin60° = (a√3)/2

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Chọn đáp án B

Ví dụ 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a và AC = 2a. Tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Ta có hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (DCC’D’) là DC' ⊥ D’C nên AC’ ⊥ D'C

⇒ D’C ⊥ (ADC’B’) tại điểm H là trung điểm CD’.

Từ H ta kẻ HK ⊥ AC’

⇒ d(AC’; D’C) = HK (khi đó HK là đoạn vuông góc chung của AC’ và D’C)

Ta tính khoảng cách d từ điểm D đến đường thẳng AC’

+ Áp dụng định li Pytago với tam giác vuông ABC ta có

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

+ Áp dụng định lí pytago với tam giác vuông DCC’ ta có:

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

+ Xét tam giác ADC’ có:

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

Chọn đáp án D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Khoảng cách giữa BD và SC là

A. độ dài của đoạn thẳng OA.

B. Độ dài của đoạn thẳng BC.

C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC.

D. Khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD.

Hướng dẫn giải

Cách tìm Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 11

+ Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, mà (SAB) ∩ (SAD) = SA

⇒ SA ⊥ (ABCD)

+ Ta có: BD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD). Và BD ⊥ AC (vì ABCD là hình vuông)

⇒ BD ⊥ (SAC) tại O, mà SC ⊂ (SAC) nên d(BD; SC) = d(O; SC)

(Chú ý: trong mp(SAC) kẻ OH vuông góc SC thì OH chính là đoạn vuông góc chung của BD và SC) .

Chọn đáp án C

Phần 7: Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song)

A. Phương pháp giải

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

* Phương pháp 1

Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'. Khi đó d(Δ, Δ') = d(Δ', (α))

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

* Phương pháp 2

Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Chọn D

Ta có: BC // AD (Tính chất hình chữ nhật) mà AD ⊂ (SAD)

⇒ BC // mp(SAD)

d(BC, SD) = d(BC, (SAD)) = d(B, SAD)

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Vậy d(SD; BC) = AB = a√3

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Chọn C.

+ Ta có: BB’ // CC’ mà CC’ ⊂ (ACC’A’) nên: BB’ // (ACC’A’)

⇒ d( BB’; AC) = d( BB’; (ACC’A’) = d(B; (ACC’A’)

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ BO ⊥ (ACC’A’) ( tính chất hình lập phương )

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a và AD = 2a; SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD?

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Gọi H là trung điểm AD suy ra : AH = HD = a

+ Tứ giác HDCB có HD // BC và HD = BC = a

⇒ HDCB là hình bình hành.

⇒ CD // HB nên CD // mp(SHB)

+ Do H là trung điểm của AB và CD // (SHB) nên: d(CD; SB) = d(CD ;(SBH))= d(D; (SBH)) = d(A ;(SBH))

+ Tứ diện A. BHS có :

AB = AH = AS và AB ; AH ; SA đôi một vuông góc nên:

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Vậy d(SB ; CD) = d( A, (SHB)) = (a√3)/3

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. a                 B. a√2                 C. a√3                 D. 2a

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Ta có: CD // AB nên CD // (SAB)

⇒ d(CD; AB) = d(CD; (SAB)) = d(D; SAB)) = AD = a

(vì AD ⊥ AB và AD ⊥ SA nên AD ⊥ (SAB))

Chọn phương án A

Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC trong đó OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tại H

+ Tam giác AOJ vuông tại O , có OH là đường cao

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của BC và BO nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC và IJ // OC

Mà IJ ⊂ (AIJ) nên OC // (AIJ) .

+ Ta có 3 đường thẳng OA; OB; OC đôi một vuông góc nên OC ⊥ (OAB)

⇒ IJ ⊥ (OAB) và IJ ⊥ OH    (1)

Lại có: AJ ⊥ OH    (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: OH ⊥ (AIJ)

+ Khi đó; d(AI; OC) = d(OC; (AIJ)) = d(O; (AIJ)) = OH = a/√5

Chọn đáp án B

Ví dụ 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD = a. Tính khoảng cách giữa AD và SB

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD và B.

+ Tam giác SAD là tam giác đều nên SE ⊥ AD   (1)

+ Lại có; hai mp(ABCD) và (SAD) cắt nhau theo giao tuyến AD và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau   (2) .

Từ (1) và (2) suy ra: SE ⊥ (ABCD) .

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên SF. Ta chứng minh EH ⊥ (SBC).

Thật vậy, ta có: EH ⊥ SF ( cách dựng) và EH ⊥ BC (do BC ⊥ (SEF)

⇒ EH ⊥ (SBC) .

+ Do AD // BC; SB ⊂ (SBC) và EH ⊥ (SBC)

⇒ d(AD: SB) = d(AD; (SBC) = d(E; (SBC)) = EH

+ Xét tam giác vuông SEF có:

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

trong đó: SE = a√3; EF = AB = a

⇒ EH = (a√21)/7

Chọn đáp án B

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

+ Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BI ⊥ (AA'C'C).

+ Ta có: BD = BC√2 = a√2 nên IB = BD/2 = (a√2)/2

+ khi đó:

d(BB’; AC)= d(BB’;( AA’C’C) = IB = (a√2)/2

Chọn đáp án C

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu?

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Gọi N là trung điểm của cạnh đáy AC.

+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC

⇒ BC // ( SMN) mà SM ⊂ (SMN) nên :

d(SM; BC) = d(BC; (SMN)) = d(B; (SMN)) = d(A; (SMN))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.

+ Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM):

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Chọn đáp án A

Ví dụ 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Tính khoảng cách giữa AB và CC1

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Gọi M là trung điểm của AB

+ Ta có: CC1 // AA1 mà AA1 ⊂ ( ABB1A1)

⇒ CC1 // ( ABB1A1)

⇒ d(CC1; AB) = d(CC1; (ABB1A1)) = d(C; ( ABB1A1))

+ Ta chứng minh CM ⊥ (ABB1A1 ):

- Do tam giác ABC đều nên CM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao: CM ⊥ AB.    (1)

- CM ⊥ AA1( tính chất lăng trụ tam giác đều)   (2)

Mà AB và AA1 (ABB1A1), kết hợp với (1) và (2) suy ra:

CM ⊥ (ABB1A1)

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Đáp án B

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

+ Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD

⇒ HK // BD ⇒ HK // (SBD)

⇒ d(SD; HK) = d(HK; (SBD)) = d(H, (SBD))

Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với (SCD) và I là trung điểm AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB là:

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Kẻ MN // AB ⇒ AB // (SMN)

⇒ d(SO; AB) = d(AB; (SMN)) = d(I, (SMN))

Ta có: AB ⊥ SI ⇒ MN ⊥ SI, AB ⊥ OI ⇒ MN ⊥ OI

⇒ MN ⊥ (SOI) ⇒ (SMN) ⊥ (SOI).

Kẻ IH ⊥ SO ⇒ IH ⊥ (SMN)

⇒ IH = d(I, (SMN))

+ Gọi J là trung điểm của CD

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Chọn C

Ví dụ 12: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 5a, BC = 4a Cạnh SA vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy (ABC) bằng 60° Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC là:

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

+ Gọi M là trung điểm AC , ta có DM là đường trung bình của tam giác ABC nên DM // BC

⇒ BC // (SMD) .

⇒ d(BC; SD) = d(C; (SMD)) = d(A; (SMD))

+ Kẻ AH ⊥ SM (H ∈ SM), ta có

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Do góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy (ABC) bằng 60° suy ra: ∠SCA = 60°.

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song) - Toán lớp 11

Chọn A

Xem thêm
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 1)
Trang 1
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 2)
Trang 2
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 3)
Trang 3
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 4)
Trang 4
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 5)
Trang 5
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 6)
Trang 6
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 7)
Trang 7
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 8)
Trang 8
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 9)
Trang 9
Chuyên đề Khoảng cách 2023 hay, chọn lọc (trang 10)
Trang 10
Tài liệu có 58 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống