Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1.9 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trả lời câu hỏi giữa bài 

Trả lời câu hỏi 1 trang 66 SGK Toán 9 Tập 1:Xét hình 1. Chứng minh ΔAHBΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2) là h2=bc.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 1)

                            Hình 1

Phương pháp giải:

Sử dụng trường hợp đồng dạng góc-góc để chứng minh hai tam giác ABH  CAH đồng dạng.

Từ đó suy ra tỉ lệ cạnh và hệ thức cần tìm. 

Lời giải:

Ta có BAH^+CAH^=900 và CAH^+ACH^=900 (do tam giác AHC vuông tại H)

Do đó BAH^=ACH^ (cùng phụ CAH^)

Xét  ΔABH và  ΔCAH có:

AHB^=AHC^(=90o)

BAH^=ACH^ (chứng minh trên )

ΔABHΔCAH(g.g) 

AHCH=BHAH( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

AH2=BHhayh2=b.c

Trả lời câu hỏi 2 trang 67 SGK Toán 9 Tập 1:Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) (là bc=ah) bằng tam giác đồng dạng.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 3) 

Hình 1 

Phương pháp giải:

Sử dụng trường hợp đồng dạng g-g rồi suy ra tỉ lệ cạnh và hệ thức cần tìm.

Lời giải:

Cách 1: 

Xét tam giác AHB  CAB 

AHB^=CAB^(=900)

B^ chung

ΔABHΔCBA (g-g)

ABBC=AHAC ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

AB.AC=AH.BC hay b.c=a.h (đpcm)

Cách 2: 

Xét tam giác ABC vuông tại A có: SABC=12.AB.AC (1)

Xét tam giác ABC có chiều cao AH ứng với cạnh đáy BC có: SABC=12.AH.BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB.BC=AH.BC hay b.c=a.h

Bài tập ( trang 68, 69, 70 SGK Toán 9 )

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 4)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: ΔABC vuông tại A, khi đó: BC2=AC2+AB2

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

  b2=a.b, c2=a.c

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 5)

Lời giải:

a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 6)

 Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta có:

BC=AB2+AC2=62+82=10

 Áp dụng hệ thức lượng vàoΔABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AB2=BC.BHBH=AB2BC=6210=3,6

Lại có HC=BCBH=103,6=6,4 

Vậy x=BH=3,6 y=HC=6,4.

b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 7)

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AB2=BH.BC122=20.xx=12220=7,2

Lại có: HC=BCBH=207,2=12,8 

Vậy x=BH=7,2;  y=HC=12,8.

Bài 2 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1:Hãy tính x  y trong hình dưới đây:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 8)

Phương pháp giải:

+) Tính độ dài cạnh huyền.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. Biết hình chiếu và cạnh huyền ta tính được cạnh góc vuông.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 10)

  Lời giải:

Đặt tên các đỉnh như hình vẽ:Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 11)

 

Ta có: BC=BH+HC=1+4=5

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

             AB2=BH.BCx2=1.5  (với x>0)

                                           x2=5

                                           x=5.

              AC2=CH.BCy2=4.5  (với y>0)

                                           y2=20

                                           y=20

                                           y=25.

Vậy x=5, y=25

Bài 3 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1:Hãy tính x  y trong hình sau:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 12)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí Pytago để tính cạnh huyền.

+) Sử dụng hệ thức liên quan đến đường cao để tính đường cao:

                         1h2=1b2+1c2

Hoặc sử dụng công thức: b.c=h.a.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 13)

Lời giải:

Đặt tên các điểm như trong hình:Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 14)

Xét ΔABC vuông tại A. Theo định lí Pytago, ta có:

     BC2=AB2+AC2

                 y2=52+72

                y2=74

                y=74

Cách 1: ΔABC vuông tại A, đường cao AH, áp dụng công thức b.c=h.a, ta được:

AB.AC=AH.BC

AH=AB.ACBC=5.774=357474.

Cách 2: Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

                      1AH2=1AB2+1AC2

                  1x2=152+172

                  1x2=741225

                  x=122574

                  x=357474

Vậy  x=357474,y=74

Bài 4 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1 :Hãy tính x  y trong hình sau:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 15)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu  h2=b.c. Biết h, c tính được b.

+) Tính độ dài cạnh huyền: a=b+c.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền b2=b.a. Biết a, b tính được b.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 16)

Lời giải:

Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dướiGiải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 17)

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH.

Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:

                     h2=b.c

             AH2=HB.HC

             22=1.x

             x=4.

Ta có: BC=BH+HC=1+4=5

Áp dụng hệ thức b2=b.a, ta có:

                     AC2=CH.BC

               y2=5.4

              y2=20

              y=20=25.

Vậy x=4, y=25.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1  :Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3  4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Phương pháp giải:

+) Dùng định lí Pytago để tính cạnh huyền. 

+) Dùng hệ thức h.a=b.c. Biết hai cạnh góc vuông b, c và cạnh huyền a tính được đường cao h.

+) Biết cạnh huyền a và các cạnh góc vuông a, c.  Dùng các hệ thức b2=b.a;   c2=c.a suy ra  b=b2a; c=c2a.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 19)

Lời giải:

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH  AB=3, AC=4. Ta cần tính AH, BH  CH

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 20)

Áp dụng định lí Pytago cho ΔABC vuông tại A, ta có:

                   BC2=AB2+AC2 

           BC2=32+42

           BC2=9+16=25

            BC=25=5.

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

        *  AH.BC=AB.AC  AH.5=3.4

                                               AH=3.45=2,4

        *   AB2=BH.BC  32=BH.5

                                           9=BH.5

                                           BH=95=1,8

        * AC2=CH.BC 42=CH.5

                                         16=CH.5

                                         CH=165=3,2

Phương pháp giải:

+) Tính cạnh huyền: a=b+c.

+) Dùng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền b2=b.a; c2=c.a, biết hình chiếu b, c và cạnh huyền a, tính được a, b.

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 21)
Lời giải:

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH, BH=1, CH=2. Ta cần tính AB, AC
Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 22)

Cách 1:

Ta có: BC=BH+HC=1+2=3

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

        * AB2=BH.BCAB2=1.3=3

                                         AB=3

        * AC2=CH.BCAC2=2.3=6

                                         AC=6

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là 3  6.

Cách 2:

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

 

AH2=BH.HC=1.2=2AH=2

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH, ta được:

AB2=BH2+AH2=12+(2)2=3AB=3

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACH, ta được:

AC2=CH2+AH2=22+(2)2=4+2=6AC=6AC2=CH2+AH2=22+(2)2=4+2=6AC=6

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là 3  6.

Bài 7 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1 :Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2=ab ) như trong hai hình sau:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 23)

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Phương pháp giải:

+) Đặt tên các điểm và nối các điểm lại để xuất hiện tam giác.

+) Dùng dấu hiệu: "tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông" để chứng minh tam giác vuông.

+ Dùng các hệ thức sau để chứng minh x là trung bình nhân của a, b:

         b2=a.b, c2=a.c      (1)

         h2=b.c                       (2)

+) Nêu các bước để vẽ được đoạn trung bình nhân.

Lời giải:

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 24)

Xét ΔABC có: 

     OA=OB=OC=BC2 (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà AO là trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC.

Suy ra ΔABC vuông tại A ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức h2=b.c, ta được:

       AH2=BH.CHx2=a.b

                                       x=ab

Vậy x là trung bình nhân của a  b.

Cách vẽ: Bước 1: Đặt BH=a, CH=b. Xác định trung điểm O của đoạn AB

             Bước 2: Vẽ nửa đường tròn tâm O bán kính OB

             Bước 3: Kẻ thẳng đi qua H và vuông góc với BC. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại A

             Bước 4: Nối A  H ta được AH=x là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng a, b.

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 25)

Xét ΔABC có:

                OA=OB=OC=BC2 (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

 AO là trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC.

Suy ra ΔABC vuông tại A (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH.  Áp dụng hệ thức b2=b.a, ta có:

                 AB2=BC.BHx2=a.b

                                                x=ab 

Vậy x là trung bình nhân của a  b.

Cách vẽ: Bước 1: Đặt BH=a, CH=b. Xác định trung điểm O của đoạn BC.

             Bước 2: Vẽ nửa đường tròn tâm O bán kính OB

             Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với BC. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại A

             Bước 4: Nối B  A ta được AB=x là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng a, b

Bài 8 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm x  y trong mỗi hình sau:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 26)

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 28)

Phương pháp giải: 

a) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu , biết  tính được .

b) +) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu 

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính .

c) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu , biết  tính được .

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông.

Lời giải:

 Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 29)

Xét ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức h2=b.c, ta được:

                           AH2=BH.CH

                     x2=4.9=36

                     x=36=6

Vậy x=6

b) Đặt tên các điểm như hình vẽ

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 30)

Xét ΔDEF vuông tại D, đường cao DH. Áp dụng hệ thức h2=b.c, ta được:

DH2=HE.HF22=x.xx2=4x=2

Xét ΔDHF vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

DF2=DH2+HF2

y2=22+x2=22+22=8

y=8=22

Vậy x=2, y=22.

c) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 31)

Xét ΔMNP vuông tại P, đường cao PH. Áp dụng hệ thức h2=b.c, ta được:

              PH2=HM.HN122=16.x

                                              144=16.x

                                              x=14416=9

 Xét ΔPHN vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

PN2=PH2+HN2y2=122+92

y2=144+81=225

y=225=15

Vậy x=9, y=15.

Bài 9 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1:Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A  B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân;

b) Tổng 1DI2+1DK2 không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau(ΔADI  ΔCDL) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 1h2=1b2+1c2 để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 32)

a) Xét ΔADI và ΔCDL có: 

A^=C^=90

              AD=CD (hai cạnh hình vuông)

             D1^=D2^  (cùng phụ với CDI^)

Do đó ΔADI=ΔCDL (g.c.g)

DI=DL ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy ΔDIL cân tại D (đpcm).

b) Xét ΔDLK vuông tại D, đường cao DC.

Áp dụng hệ thức 1h2=1b2+1c2, ta có:

                 1DC2=1DL2+1DK2  (mà DL=DI)

1DC2=1DI2+1DK2

Do ABCD cố định nên DC không đổi, do đó 1DI2+1DK2 là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức 1h2=1b2+1c2

Nếu đề bài không cho vẽ DLDK thì ta vẫn phải vẽ đường phụ DLDK để có thể vận dụng hệ thức trên

Lý thuyết Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình vẽ). Khi đó ta có các hệ thức sau:

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 33) 

+) AB2=BH.BC  AC2=CH.BC hay c2=a.c và b2=ab (1)

+) HA2=HB.HC hay h2=cb (2)

+) AB.AC=BC.AH hay cb=ah (3)

+) 1AH2=1AB2+1AC2 hay 1h2=1c2+1b2 (4).

+) BC2=AB2+AC2 (Định lí Pitago). 

2. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan giữa các yếu tố trong tam giác vuông

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức:

- Đưa về hai tam giác đồng dạng có chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

- Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để chứng minh.


Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (ảnh 34)

 

Đánh giá

0

0 đánh giá