Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

4.1 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Video giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác - Cánh diều

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1

Bài 1 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB=3,5;AC=7,5;A^=135o. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính BC, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

a2=b2+c22bc.cosA

Bước 2: Tính R, dựa vào định lí sin trong tam giác ABC:

BCsinA=2RR=BC2.sinA

Lời giải: 

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2=AC2+AB22AC.AB.cosA

BC2=7,52+3,522.7,5.3,5.cos135oBC2105,6BC10,3

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: BCsinA=2R

R=BC2.sinA=10,32.sin135o7,3

Bài 2 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có B^=75o,C^=45o và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính A^

Bước 2: Tính AB, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

Lời giải:

Ta có: B^=75o,C^=45oA^=180o(75o+45o)=60o

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

ABsinC=BCsinA

AB=sinC.BCsinA=sin45o.50sin60o40,8

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Bài 3 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB=6,AC=7,BC=8. Tính cosA,sinA và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cosA, bằng cách áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC:

BC2=AC2+AB22.AC.AB.cosA

Bước 2: Tính sinA, dựa vào cos A.

Bước 3: Tính R, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC

BCsinA=2RR=BC2.sinA

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2=AC2+AB22.AC.AB.cosA

cosA=AC2+AB2BC22.AB.AC=72+62822.7.6=14

Lại có: sin2A+cos2A=1sinA=1cos2A(do 0o<A90o)

sinA=1(14)2=154

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:BCsinA=2R

R=BC2.sinA=82.154=161515.

Vậy cosA=14;sinA=154;R=161515.

Bài 4 trang 71 Toán lớp 10: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) A=cos0o+cos40o+cos120o+cos140o

b) B=sin5o+sin150osin175o+sin180o

c) C=cos15o+cos35osin75osin55o

d) D=tan25o.tan45o.tan115o

e) E=cot10o.cot30o.cot100o

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tìm cos0o;cos120o dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính cos140o theo cos40o dựa vào công thức: cosα=cos(180oα)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

b) Bước 1: Tìm sin150o;sin180o dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính sin175o theo sin5o dựa vào công thức: sinα=sin(180oα)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

c) Bước 1: Tính sin75o theo cos15o dựa vào công thức: sinα=cos(90oα)

Bước 2: Tính sin55o theo cos35o dựa vào công thức: sinα=sin(180oα)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

d) Bước 1: Tính tan115o theo tan65o dựa vào công thức: tanα=tan(180oα)

Bước 2: Tính tan65o theo cot25o dựa vào công thức: tanα=cot(90oα)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

e) Bước 1: Tính cot100o theo cot80o dựa vào công thức: cotα=cot(180oα)

Bước 2: Tính cot80o theo tan10o dựa vào công thức: cotα=tan(90oα)

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Lời giải:

a) A=cos0o+cos40o+cos120o+cos140o

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

 cos0o=1;cos120o=12

Lại có: cos140o=cos(180o40o)=cos40o  

A=1+cos40o+(12)cos40oA=12.

b) B=sin5o+sin150osin175o+sin180o

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

 sin150o=12;sin180o=0

Lại có: sin175o=sin(180o175o)=sin5o  

B=sin5o+12sin5o+0B=12.

c) C=cos15o+cos35osin75osin55o

Ta có: sin75o=sin(90o75o)=cos15osin55o=sin(90o55o)=cos35o

C=cos15o+cos35ocos15ocos35oC=0.

d) D=tan25o.tan45o.tan115o

Ta có: tan115o=tan(180o115o)=tan65o

Mà: tan65o=cot(90o65o)=cot25o

D=tan25o.tan45o.cot25oD=tan45o=1

e) E=cot10o.cot30o.cot100o

Ta có: cot100o=cot(180o100o)=cot80o

Mà: cot80o=tan(90o80o)=tan10o

E=cot10o.cot30o.tan10oE=cot30o=3.

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) sinA2=cosB+C2

b) tanB+C2=cotA2

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa góc A^2 và góc B^+C^2

Bước 2: Áp dung: sinα=cos(90oα)và tanα=cot(90oα) suy ra đpcm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có:

A^+B^+C^=180oA^2+B^+C^2=90o

Do đó A^2 và B^+C^2 là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: sinA2=cos(90oA2)=cosB+C2

b) Ta có: tanB+C2=cot(90oB+C2)=cotA2

Bài 6 trang 71 Toán lớp 10: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, BAC^=59,95o;BCA^=82,15o. Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm góc ABC.

Bước 2: Tính AB: Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC: ABsinC=ACsinB

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có: BAC^=59,95o;BCA^=82,15o.

ABC^=180o(59,95+82,15o)=37,9o

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có: ABsinC=ACsinB

AB=sinC.ACsinB=sin82,15o.25sin59,95o28,6

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là 28,6 m.

Bài 7 trang 71 Toán lớp 10: Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc 75o. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải:

Bước 1: Quãng đường mỗi tàu đi được sau 2,5 giờ.

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tàu bằng cách áp dụng định lí cosin.

Lời giải:

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

 

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB = 8.2,5 = 20 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC = 12.2,5 = 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2=AC2+AB22.AC.AB.cosA

BC2=302+2022.30.20.cos75oBC2989,4BC31,5

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10: Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α=35o; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β=75o; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bài 8 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1 I Cánh diều (ảnh 2)

Bước 1: Vẽ hình, gọi các điểm O, C, D, H như hình vẽ.

Bước 2: Đặt x = OC. Tính AC, BD theo x,α,β.

Bước 3: Lập luận tìm x. Từ đó suy ra khoảng cách OH.

Lời giải:

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

 

Đặt OC = x, suy ra OH = x + 20 + 1,5 =x + 21,5.

Xét tam giác OAC, ta có: tanα=OCACAC=OCtanα=xtan35o

Xét tam giác OBD, ta có: tanβ=ODBDBD=ODtanβ=x+20tan75o

Mà:AC=BDxtan35o=x+20tan75o

x.tan75o=(x+20).tan35ox=20.tan35otan75otan35o4,6

Suy ra OH = 26,1.

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.

Bài giảng Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác - Cánh diều

 

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Đánh giá

0

0 đánh giá